冯锡兰版工程力学课件16、 压杆稳定

•压杆稳定的概念•细长压杆的临界力•欧拉公式的适用范围及经验公式•提高压杆稳定性的措施第16章压杆稳定在外力作用下的杆件，当应力达到屈服极限或强度极限时，将发生塑性变形或断裂，这种破坏是由于强度不足引起的。长度很小的受压短杆也有相同的现象。但是在工程中有些构件具有足够的强度和刚度，却不一定能安全可靠地工作。稳定性问题。1、稳定平衡和不稳定平衡稳定平衡不稳定平衡16-1压杆稳定的概念2、压杆失稳与临界压力理想压杆:材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。不稳定平衡F小于某个值稳定平衡F大于某个值2、压杆失稳与临界压力Fcr稳定平衡不稳定平衡临界状态临界压力:Fcr过度对应的压力压杆丧失直线形式平衡状态的现象称为丧失稳定，简称失稳。当压杆的材料、尺寸和约束情况已经确定时，临界压力是一个确定的值。因此可以根据杆件的实际工作压力是否大于临界压力来判断压杆是稳定还是不稳定。解决压杆稳定的关键问题是确定临界压力。压杆失稳造成的灾难1907年8月9日,在加拿大离魁北克城14.4Km横跨圣劳伦斯河的大铁桥在施工中倒塌.灾变发生在当日收工前15分钟,桥上74人坠河遇难.原因是在施工中悬臂桁架西侧的下弦杆有二节失稳所致.杭州某研发生产中心的厂房屋顶为园弧形大面积结构,屋面采用预应力密肋网架结构,密肋大梁横截面(600mm×1400mm),屋面采用现浇板,板厚120mm.2003年2月18日晚19时,当施工到26～28轴时,支模架失稳坍塌,造成重大伤亡事故。美国哈特福特城的体育馆网架结构，平面92m×110m,突然于1978年破坏而落地，破坏起因可能是压杆屈曲。以及1988年加拿大一停车场的屋盖结构塌落，1985年土耳其某体育场看台屋盖塌落，这两次事故都和没有设置适当的支撑有关。1、两端铰支的临界力F(a)yxEIxyOO)(xwwFM(x)Fx(b)图示坐标系，考察微弯状态下任意一段压杆的平衡（图b），杆件横截面上的弯矩为:)()(xwFxM根据挠曲线近似微分方程，有22d)(d)(xxwEIxM取EIFk20)()(222xwkdxxwd16-2细长压杆的临界力F(a)yxEIxyOO)(xwwFM(x)Fx(b)EIFk20)()(222xwkdxxwd解微分方程得到通解为kxCkxCxwcossin)(21C1和C2为待定常数，根据压杆的约束边界条件来确定，在两端铰支的情况下，边界条件为0)()0(lww0sin,012klCCF(a)yxEIxyOO)(xwwFM(x)Fx(b)0sin,012klCCkxCkxCxwcossin)(21若C1=0，表明杆为直线，这与压杆处于微弯平衡状态不符。0sinklπnkl,....)2,1,0(nlnk,......)2,1,0(π222nlEInFEIFk2F(a)yxEIxyOO)(xwwFM(x)Fx(b),......)2,1,0(π222nlEInF上式表明，使杆件保持为曲线平衡的压力，理论上是多值的。在这些压力中，使杆件保持为曲线平衡的最小压力，才是临界压力。取n=122crlEIF两端铰支压杆的欧拉公式2、其它支承情况下细长压杆的临界力不同约束形式压杆的临界力，可以用类似的方法求解微分方程导出。但在已经导出两端铰支压杆的临界压力公式之后，便可以用比较简单的方法，得到其他约束条件下的临界力。Fl2lF一端固定，一端自由，长为l的的压杆的挠曲线和两端铰支，长为2l的压杆的挠曲线的上半部分相同。则临界压力:22cr)2(πlEIF2、其它支承情况下细长压杆的临界力利用同样的方法得到:两端固定的压杆的临界压力为:22cr)5.0(πlEIF一端铰支另一端固定的压杆的临界压力为:22cr)7.0(πlEIF两端铰支为:22crπlEIF一端铰支，一端自由:22cr)2(πlEIF综合各种不同的约束条件，统一写成如下形式:22cr)(πlEIF上式即为欧拉公式的一般形式。l为相当长度，为长度因数，与压杆两端的支承情况有关。其数值为两端铰支1一端固定一端自由2两端固定0.5一端固定一端铰支0.7一端自由，一端固定＝2.0两端固定＝0.5一端铰支，一端固定＝0.7两端铰支＝1.0例16-1如图所示一细长的矩形截面压杆，一端固定，一端自由。材料为钢，弹性模量E=200GPa，几何尺寸为：l=2.5mb=40mm，h=90mm。试计算此压杆的临界压力。若b=h=60mm，长度相等，则此压杆的临界压力又为多少？（压杆满足欧拉公式计算条件*）Flzybh解：Flzybh一端固定，一端自由，长度因数2在应用欧拉公式时，截面的惯性矩应取较小的I值。123hbIy4443mm1048mm12409044433mm10243mm12904012bhIzzyII按照Iy计算临界压力。Flzybh按照Iy计算临界压力。22cr)(πlEIF37.86kN37860NN)25002(104810200π2432mm60bh若mm10108mm126012443bhIIzy85.19kN85187NN)25002(1010810200π)(π243222crlEIF1、临界应力与柔度将临界压力除以压杆的横截面面积A，就可以得到与临界压力对应的应力为AlEIAF22crcr)(πcr即为临界应力。利用惯性半径i和惯性矩I的关系：AiI222crcr)(πilEAF16-3欧拉公式的适用范围及经验公式1、临界应力与柔度22crcr)(πilEAF引入记号il则压杆的临界应力可表示为22crπE柔度（长细比）il式中是一个没有量纲的量，称为柔度或长细比。它集中反应了压杆的长度l、约束条件、截面尺寸和形状i等因素对临界应力cr的影响。2、欧拉公式的适用范围在欧拉公式的推导过程中，用到了挠曲线近似微分方程，这就决定了材料必须符合胡克定律。材料符合胡克定律工作应力（临界应力）小于比例极限pP22πEP2πE取P2PπE则只有当P欧拉公式才是有效的。通常将的杆称为大柔度杆(细长杆)。大柔度杆的临界应力可以采用欧拉公式来进行计算。P2、欧拉公式的适用范围以Q235为例，1001020010620π692PGPa206EMPa200P3、中柔度杆的经验公式对于p的压杆，其临界应力大于材料的比例极限，欧拉公式已经不适用。工程中这类问题一般采用经验公式。经验公式是根据试验数据整理后得到的，这里介绍工程中常用的直线公式，即bacra、b是和材料有关的常数，单位是MPa材料（sb）abQ235s=235MPab≥235MPa3041.12优质碳钢s=306MPab≥471MPa4612.568硅钢s=353MPab≥510MPa5783.744铸铁332.21.454松木28.70.19中柔度杆的经验公式经验公式也有一个适用的范围，即使用经验公式得到的临界应力不允许超过材料的极限应力，对于塑性材料，不能超过其屈服极限，而对于脆性材料，不能超过其强度极限。当临界应力超过极限应力后，压杆已经因为强度不足而破坏，这样经验公式计算的结果是毫无意义的。bacr对于塑性材料:令scrbass对于Q235钢:6.6112.1235304s工程中将柔度介于s和p之间的这一类压杆称为中柔度杆（中长杆）。3、小柔度杆对于s的压杆，小柔度杆将因压缩引起屈服或断裂破坏，属于强度问题，当然也可以将屈服极限s（塑性材料）和强度极限b（脆性材料）作为极限应力。4、临界应力总图cr0spspscrbacr22crπE课堂讨论如图所示3根压杆的材料及截面都相同，那一种情况的压杆最容易发生失稳？说明理由（时间:3分钟）。5m7m9mABCFFF5m7m9mABCFFF:A551l:B9.477.0l:C5.429.0l最易失稳：A最难失稳：C空气压缩机的活塞杆（圆形截面）两端铰支，由45号钢制成，s=350MPa，p=280MPa，E=210GPa，长l=700mm，直径d=45mm。求临界压力。1、计算s,ppp2πE861028010210π692查表优质碳钢的a、bsbas2.43586.23504612、计算柔度活塞杆为圆形截面，故其惯性半径4diil624547001属于柔度杆中例16-23、计算临界应力及临界压力62crbaMPa302MPa62568.2461478.71kNkN10)1045(4π103013236crcrAF求压杆临界压力的基本步骤求压杆的临界压力是本章的重点内容。而压杆的临界压力的计算是由其柔度决定的，不能简单地套用欧拉公式。计算步骤:1)根据压杆的长度、截面、约束情况确定其柔度。2)根据计算得到的柔度确定其压杆类型，是属于大柔度杆、中柔度杆还是小柔度杆；3)大柔度杆采用欧拉公式，中柔度杆采用经验公式，小柔度杆采用材料的极限应力来确定其临界应力；4)根据临界应力计算临界压力。应用实例武进奔牛洪力液压启闭机厂（）生产的冷拔机的撑杆问题lDdFT应用实例lDdFT冷拔机机架由四根空心圆杆构成,其外径D=273mm，内径d=213mm，杆长l=15m，如图14-6所示，其约束的长度因数0.8。材料为Q235钢，弹性模量E=206GPa。不考虑杆件自重，求该机器的最大拔置力。若将杆长缩小一半，则其最大拔置力为多少？讨论，若工作拔置力超过了计算的最大拔置力很多，则为保证稳定性，应采取何种措施？应用实例按照压杆稳定的一般步骤进行计算:应用实例1、惯性半径及柔度：mm56.86mm273213142731422DdDi63.13856.86150008.0il材料为Q235,p=100则撑杆为大柔度杆：2、计算单根撑杆临界压力MPa79.105MPa63.13810206ππ23222crE2423kNkN102132734π79.105322crcrAF3、最大拔置力9691kNkN242344crmaxFFT4、若将杆长缩短一半，则柔度为32.6956.8675008.0中柔度杆20726kNkN102132734π)32.6912.1304(4)(4'322maxAbaFT5、比较两种杆长:14.2/'maxmaxTTFF杆长缩短一半，则其最大拔置力提高了2.14倍。16-4提高压杆稳定性的措施•减少杆件的计算长度；•增强约束的牢固性；•选用合理的截面形状；•合理选用材料1、减少杆件的计算长度:大柔度压杆的临界压力与杆长的平方成反比，在可能的情况下，应通过改变结构或者增加支座来减少计算杆长，从而达到显著提高压杆承载能力的目的。对于前面洪力冷拔机撑杆中若在杆的中部增加一个支座，可以起到类似的作用，即缩短了计算杆长，从而大大增加了受压杆件的稳定性（考虑到冷拔产品的取出，此方案不可行）。2、增强约束的牢固性:支座对于压杆的约束作用越强，则压杆的长度因数越小，压杆的临界压力就越大。若将一端固定一端自由的压杆改变为一端固定一端铰支的压杆，则大柔度压杆的临界应力将是原来的8.16倍。在工程中，如果对于压杆由于条件限制不能在杆的中部增加支座，那么增强压杆两端的约束效果也可以有效提高压杆的稳定性。3、选用合理的截面形状:欧拉公式表明，截面的惯性矩越大，则临界压力越大，在经验公式中，柔度越小，临界应力越高，而提高惯性半径的数值就可以减小柔度。可见，如不增加截面面积，而