一元线性回归

第九章相关与回归分析不要过于教条地对待研究的结果，尤其当数据的质量受到怀疑时。DamodarN.Gujarati1变量间关系的度量2一元线性回归3利用回归方程进行估计学习目标1.相关关系的分析方法2.一元线性回归的基本原理和参数的最小二乘估计3.回归直线的拟合优度4.回归方程的显著性检验5.利用回归方程进行估计第一节变量间关系的度量1变量间的关系2相关关系的描述与测度3相关系数的显著性检验变量间的关系xyxy函数关系1.是一一对应的确定关系2.设有两个变量x和y，变量y随变量x一起变化，并完全依赖于x，当变量x取某个数值时，y依确定的关系取相应的值，则称y是x的函数，记为y=f(x)，其中x称为自变量，y称为因变量3.各观测点落在一条线上xyxy函数关系(几个例子)某种商品的销售额y与销售量x之间的关系可表示为y=px(p为单价)圆的面积S与半径R之间的关系可表示为S=2R企业的原材料消耗额y与产量x1、单位产量消耗x2、原材料价格x3之间的关系可表示为y=x1x2x3相关关系(correlation)1.变量之间存在的不确定的数量关系。2.一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定3.当变量x取某个值时，变量y的取值可能有几个4.各观测点分布在直线周围xy相关关系(几个例子)父亲身高y与子女身高x之间的关系收入水平y与受教育程度x之间的关系粮食单位面积产量y与施肥量x1、降雨量x2、温度x3之间的关系商品的消费量y与居民收入x之间的关系商品销售额y与广告费支出x之间的关系相关关系(类型)正相关负相关线性相关非线性相关正相关负相关完全相关不相关相关关系相关关系的描述与测度(散点图)相关分析及其假定1.相关分析要解决的问题–变量之间是否存在关系？–如果存在关系，它们之间是什么样的关系？–变量之间的关系强度如何？–样本所反映的变量之间的关系能否代表总体变量之间的关系？2.为解决这些问题，在进行相关分析时，对总体有以下两个主要假定–两个变量之间是线性关系–两个变量都是随机变量散点图(scatterdiagram)不相关负线性相关正线性相关非线性相关完全负线性相关完全正线性相关散点图(例题分析)•【例】一家大型商业银行在多个地区设有分行，其业务主要是进行基础设施建设、国家重点项目建设、固定资产投资等项目的贷款。近年来，该银行的贷款额平稳增长，但不良贷款额也有较大比例的增长，这给银行业务的发展带来较大压力。为弄清不良贷款形成的原因，管理者希望利用银行业务的有关数据进行定量分析，以便找出控制不良贷款的办法。下面是该银行所属的25家分行2002年的有关业务数据散点图(例题分析)散点图(不良贷款对其他变量的散点图)不良贷款与贷款余额的散点图024681012140100200300400贷款余额不良贷款不良贷款与贷款项目个数的散点图02468101214010203040贷款项目个数不良贷款不良贷款与固定资产投资额的散点图02468101214050100150200固定资产投资额不良贷款不良贷款与累计应收贷款的散点图024681012140102030累计应收贷款不良贷款散点图(5个变量的散点图矩阵)不良贷款贷款余额累计应收贷款贷款项目个数固定自产投资相关关系的描述与测度(相关系数)相关系数(correlationcoefficient)1.度量变量之间线性关系强度的一个统计量2.对两个变量之间线性相关强度的度量称为简单相关系数3.若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为4.若相关系数是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，简称为相关系数，记为r–也称为线性相关系数(linearcorrelationcoefficient)–或称为Pearson相关系数(Pearson’scorrelationcoefficient)相关系数(计算公式)•样本相关系数的计算公式22)()())((yyxxyyxxr或化简为2222yynxxnyxxynr•协方差刻画了两个随机变量相对于它们均值的同时偏差，反映了两个变量共同变化的程度。•将协方差标准化以消除测量单位的影响。这里是除以两个标准差sx，sy的乘积。协方差1))((covnyyxxxy1)(1)(1))((22nyynxxnyyxxr22)()())((yyxxyyxxr相关系数的性质•性质1：r的取值范围是[-1,1]–|r|=1，为完全相关•r=1，为完全正相关•r=-1，为完全负正相关–r=0，不存在线性相关关系–-1r0，为负相关–0r1，为正相关–|r|越趋于1表示关系越强；|r|越趋于0表示关系越弱相关系数的性质(取值及其意义的图解)-1.0+1.00-0.5+0.5完全负相关无线性相关完全正相关负相关程度增加r正相关程度增加相关系数的性质•性质2：r具有对称性。即x与y之间的相关系数和y与x之间•的相关系数相等，即rxy=ryx•性质3：r数值大小与x和y原点及尺度无关，即改变x和y的•数据原点及计量尺度，并不改变r数值大小•性质4：仅仅是x与y之间线性关系的一个度量，它不能用•于描述非线性关系。这意味着，r=0只表示两个变•量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之间•没有任何关系•性质5：r虽然是两个变量之间线性关系的一个度量，却不•一定意味着x与y一定有因果关系相关系数的经验解释1.|r|0.8时，可视为两个变量之间高度相关2.0.5|r|0.8时，可视为中度相关3.0.3|r|0.5时，视为低度相关4.|r|0.3时，说明两个变量之间的相关程度极弱，可视为不相关5.上述解释必须建立在对相关系数的显著性进行检验的基础之上相关系数的显著性检验相关系数的显著性检验(r的抽样分布)2.r的抽样分布随总体相关系数和样本容量的大小而变化3.当样本数据来自正态总体时，随着n的增大，r的抽样分布趋于正态分布，尤其是在总体相关系数很小或接近0时，趋于正态分布的趋势非常明显。而当远离0时，除非n非常大，否则r的抽样分布呈现一定的偏态4.当为较大的正值时，r呈现左偏分布；当为较小的负值时，r呈现右偏分布。只有当接近于0，而样本容量n很大时，才能认为r是接近于正态分布的随机变量相关系数的显著性检验(检验的步骤)1.检验两个变量之间是否存在线性相关关系2.等价于对回归系数b1的检验3.采用R.A.Fisher提出的t检验4.检验的步骤为–提出假设：H0：；H1：0)2(~122ntrnrt计算检验的统计量：确定显著性水平，并作出决策•若tt，拒绝H0•若tt，不拒绝H0表我国人均国民收入与人均消费金额数据单位:元年份人均国民收入人均消费金额年份人均国民收入人均消费金额1981198219831984198519861987393.8419.14460.86544.11668.29737.73859.972492672893294064515131988198919901991199219931068.81169.21250.71429.51725.92099.56436907138039471148【例】在研究我国人均消费水平的问题中，把全国人均消费额记为y，把人均国民收入记为x。我们收集到1981～1993年的样本数据(xi，yi)，i=1,2,…，13，数据见表10-1，计算相关系数。•解：根据样本相关系数的计算公式有人均国民收入与人均消费金额之间的相关系数为0.99879987.074575226399135.1282777.160733231374575.1282799.915617313222222yynxxnyxxynr相关系数的显著性检验(例题分析)•对不良贷款与贷款余额之间的相关系数进行显著性检验(0.05)1.提出假设：H0：；H1：02.计算检验的统计量5344.78436.012258436.02t3.根据显著性水平＝0.05，查t分布表得t(n-2)=2.069由于t=7.5344t(25-2)=2.069，拒绝H0，不良贷款与贷款余额之间存在着显著的正线性相关关系相关系数的显著性检验(例题分析)•各相关系数检验的统计量相关系数的显著性检验(需要注意的问题)1.即使统计检验表明相关系数在统计上是显著的，并不一定意味着两个变量之间就存在重要的相关性2.因为在大样本的情况下，几乎总是导致相关系数显著–比如，r=0.1，在大样本的情况下，也可能使得r通过检验，但实际上，一个变量取值的差异能由另一个变量的取值来解释的比例只有10%，这实际上很难说明两个变量之间就有实际意义上的显著关系一元线性回归1一元线性回归模型2参数的最小二乘估计3回归直线的拟合优度4显著性检验什么是回归分析？(regression)1.从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式2.对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著3.利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度趋向中间高度的回归回归这个术语是由英国著名统计学家FrancisGalton在19世纪末期研究孩子及其父母的身高时提出来的。Galton发现身材高的父母，他们的孩子身材也高。但这些孩子平均起来并不像他们的父母那样高。对于比较矮的父母情形也类似：他们的孩子比较矮，但这些孩子的平均身高要比他们的父母的平均身高高。Galton把这种孩子的身高向平均值靠近的趋势称为一种回归效应，而他发展的研究两个数值变量的方法称为回归分析回归分析与相关分析的区别1.相关分析中，变量x变量y处于平等的地位；回归分析中，变量y称为因变量，处在被解释的地位，x称为自变量，用于预测因变量的变化2.相关分析中所涉及的变量x和y都是随机变量；回归分析中，因变量y是随机变量，自变量x是非随机的确定变量3.相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量x对变量y的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制回归模型的类型线性回归非线性回归一元回归线性回归非线性回归多元回归回归模型一元线性回归模型一元线性回归1.涉及一个自变量的回归2.因变量y与自变量x之间为线性关系–被预测或被解释的变量称为因变量(dependentvariable)，用y表示–用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为自变量(independentvariable)，用x表示3.因变量与自变量之间的关系用一个线性方程来表示回归模型(regressionmodel)1.回答“变量之间是什么样的关系？”2.方程中运用–1个数值型因变量(响应变量)•被预测的变量–1个或多个数值型或分类型自变量(解释变量)•用于预测的变量3.主要用于预测和估计一元线性回归模型1.描述因变量y如何依赖于自变量x和误差项的方程称为回归模型2.一元线性回归模型可表示为y=b+b1x+–y是x的线性函数(部分)加上误差项–线性部分（b+b1x）反映了由于x的变化而引起的y的变化–误差项是随机变量•反映了除x和y之间的线性关系之外的随机因素对y的影响•是不能由x和y之间的线性关系所解释的变异性–b0和b1称为模型的参数回归模型中为什么包含误差项•理由1：理论的含糊性。•理由2：数据的欠缺。•理由3：核心变量与周边变量。•理由4：人类行为的内在随机性。•理由5：糟糕的替代变量。•理由6：节省原则。•理由7：错误的函数形式。•误差项是未包括在模型中而又影