2012年中考数学复习方案(苏科版)第22课时 直角三角形与勾股定理

│直角三角形与勾股定理·江苏科技版│考点聚焦考点聚焦·江苏科技版考点1直角三角形的定义及其性质1．直角三角形有一个角是________的三角形是直角三角形．2．直角三角形的性质(1)直角三角形的两锐角________．(2)直角三角形的斜边上的中线等于斜边的________．(3)在直角三角形中，30°的角所对的边等于斜边的________．[注意]如果一个三角形中有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形．直角互余一半一半│考点聚焦·江苏科技版考点2勾股定理如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2＋b2＝________.[注意]能构成直角三角形的三条边长的三个正整数，称为勾股数．c2│考点聚焦·江苏科技版考点3运用勾股定理解决简单问题(1)当涉及到计算时，常作高构造直角三角形，利用勾股定理解(证)题．(2)勾股定理的结论是一个含有平方关系的等式，要求线段长时，可由此列出方程，即要善于联想由形到数的转化方法，运用方程思想分析问题、解决问题．│考点聚焦·江苏科技版考点4勾股定理的逆定理如果三角形的三边长分别为a、b、c，满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是________三角形．[作用](1)判断某三角形是否为直角三角形；(2)判断三角形的形状；(3)证明两条线段垂直；(4)实际应用．直角│考点聚焦·江苏科技版考点5定义、命题、证明、定理1．定义：对名称或术语的含义进行描述、作出规定，也就是给它们下定义；2．命题：命题是判断一件事情的句子．正确的命题叫________，错误的命题叫________；每个命题都由________和________两部分组成；3．证明：用推理的方法证实真命题的过程；4．定理：经过证明的真命题．真命题假命题条件结论│考点聚焦·江苏科技版[注意](1)判断一个命题是否正确，仅仅依靠经验、观察、试验和猜想是不够的，必须一步一步地、有理有据地进行推理．(2)一般地，命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的是条件，“那么”引出的是结论．(3)要说明一个命题是正确的，需通过证明，而要说明一个命题是假命题，只需举一个反例就行了．│考点聚焦·江苏科技版考点6互逆命题及其关系互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互为逆命题．如果一个叫________，那么另一个叫它的________．[注意]原命题成立，其逆命题不一定成立．原命题逆命题│考点聚焦·江苏科技版考点7反证法的含义从假设所需证的命题的结论不成立出发，结合条件推出与已知条件或正确命题相矛盾的结论，说明假设错误，原命题成立的证明方法叫做反证法．·江苏科技版│归类示例►类型之一利用勾股定理求线段的长度归类示例命题角度：1．利用勾股定理求线段的长度2．利用勾股定理解决折叠问题│归类示例·江苏科技版例1[2011·黄石]将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图22－1，则三角板的最大边的长为()A．3cmB．6cmC．32cmD．62cm图22－1D│归类示例·江苏科技版[解析]过点A作AD⊥BD，垂足为点D，所以AB＝2AD＝2×3＝6cm，△ABC是等腰直角三角形，AC＝2AB＝62cm.勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的两边求第三边；(2)已知直角三角形的一边求另两边的关系；(3)用于证明平方关系的问题.·江苏科技版►类型之二利用勾股定理解决生活中的实际问题命题角度：1．求最短路线问题2．求有关长度问题例2如图22－2，一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当AB＝4，BC＝4，CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；·江苏科技版(3)求点B1到最短路径的距离．图22－2解：(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形ABC′1D1和ACC1A1.蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC′1和AC1.│归类示例·江苏科技版(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C′1，爬过的路径的长是l1＝42＋4＋52＝97.蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的路径的长是l2＝4＋42＋52＝89.l1l2，最短路径的长是l2＝89.(3)作B1E⊥AC1于点E，则B1E＝B1C1AC1·AA1＝489·5＝208989为所求．利用勾股定理求最短路线问题的方法：将起点和终点所在的面展开使之成为一个平面，进而利用勾股定理求最短长度．·江苏科技版►类型之三勾股定理中的探索性问题命题角度：1．利用勾股定理进行数量的探索2．利用勾股定理进行图形的探索例3[2010·孝感][问题情境]勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”(勾股定理)带到其他星球，作为地球人与其他“星球人”进行第一次“谈话”的语言．│归类示例·江苏科技版[定理表述]请你根据图22－3中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述)；图22－3│归类示例·江苏科技版[尝试证明]以图22－4①中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a＋b为高的直角梯形(如图22－4②)，请你利用图②，验证勾股定理；图22－4│归类示例·江苏科技版[知识拓展]利用图②中的直角梯形，我们可以证明a＋bc2.其证明步骤如下：∵BC＝a＋b，AD＝________.又∵在直角梯形ABCD中有BC________AD(填大小关系)，即________，∴a＋bc2.│归类示例·江苏科技版[解析]先证明Rt△ABE≌Rt△ECD，然后利用等面积法S梯形ABCD＝SRt△ABE＋SRt△DEC＋SRt△AED，可得a2＋b2＝c2.解：[定理表述]如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.│归类示例·江苏科技版[尝试证明]∵AB＝EC，BE＝DC，AE＝DE，Rt△ABE≌Rt△ECD，∴∠AEB＝∠EDC.又∵∠EDC＋∠DEC＝90°，∴∠AEB＋∠DEC＝90°.∴∠AED＝90°.∵S梯形ABCD＝SRt△ABE＋SRt△DEC＋SRt△AED，∴12(a＋b)(a＋b)＝12ab＋12ab＋12c2.整理，得a2＋b2＝c2.[知识拓展]2ca＋b2c.│归类示例·江苏科技版►类型之四定义、命题、定理、反证法命题角度：1．定义、命题、定理的含义2．区分命题的条件(题设)和结论3．逆命题的概念；识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立4．反例的作用，利用反例可以证明一个命题是错误的5．反证法的含义│归类示例·江苏科技版例4[2011·德州]下列命题中，其逆命题是真命题的是________(只填写序号)．①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．①④│归类示例·江苏科技版[解析]①的逆命题：两直线平行，同旁内角互补，正确；②的逆命题：相等的两个角是直角，错误；③的逆命题：如果两个数的平方相等，那么这两个数也相等，错误，如：22＝(－2)2，但2≠－2；④的逆命题：如果直角三角形的三边长是a、b、c则满足a2＋b2＋c2，正确．·江苏科技版回归教材教材母题[江苏科技版八上P68第6题]如图22－5，以Rt△ABC的三边为直径的3个半圆的面积之间有什么关系？请说明理由．图22－5·江苏科技版解：记直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3的关系是S1＋S2＝S3.理由如下：S1＝12πBC22＝18πBC2；S2＝12πAB22＝18πAB2；S3＝12πAC22＝18πAC2；而由勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2，于是可得S1＋S2＝S3.·江苏科技版中考变式[2011·玉溪]如图22－6，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以BC、AB、AC为边向外作正方形，面积分别记为S1、S2、S3，若S2＝4，S3＝6，则S1＝________.图22－62[解析]由题意得：S1＝CB2，S2＝AB2，S3＝AC2，由勾股定理可得AB2＋CB2＝AC2；则有S2＋S1＝S3，即4＋S1＝6，则S1＝2.