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│圆的有关概念与性质·江苏科技版│考点聚焦考点聚焦·江苏科技版考点1圆的有关概念如图29－1，把线段OP的一个端点O固定，使线段OP绕着点O在平面内旋转一周，另一个端点P运动所形成的图形叫做圆．其中，定点O叫做________，线段OP叫做________．图29－1圆心半径│考点聚焦·江苏科技版[注意]圆是到定点的距离等于定长的点的集合．[辨析](1)连接圆上任意两点的线段叫做________；经过圆心的弦叫做________；圆上任意两点间的部分叫做________；大于半圆的弧叫做________；小于半圆的弧叫做________．(2)圆心相同，半径不等的圆是同心圆，半径相等，圆心不同的圆是等圆．(3)直径是圆中最大的弦，是半径的________倍．弦直径弧优弧劣弧2│考点聚焦·江苏科技版考点2点和圆的位置关系如果圆的半径是r，点到圆心的距离为d，那么：(1)点在圆外⇔________；(2)点在圆上⇔________；(3)点在圆内⇔________.drd＝rdr│考点聚焦·江苏科技版考点3确定圆的条件过已知一点可作_______个圆，过已知两点可作_______个圆，过不在同一条直线上的三点可以作_______个圆，这个圆叫做三角形的__________圆，这个三角形叫这个圆的________三角形．[注意]外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是三角形斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部．无数无数一外接内接│考点聚焦·江苏科技版考点4圆的对称性圆是一个特殊的图形，它既是一个轴对称图形又是一个________对称图形，圆还具有旋转不变性．中心│考点聚焦·江苏科技版考点5垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的________．推论：①平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；④圆的两条平行弦所加的弧相等．[辨析]“弦”是线段，“弧”是曲线段，长度相等的弦是等弦，但弧长相等的弧不一定是等弧(弧的度数还必须相等)．弧│考点聚焦·江苏科技版考点6圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧______，所对的弦________，所对的弦的弦心距________．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．相等相等相等│考点聚焦·江苏科技版考点7圆心角与圆周角圆心角定理：圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的________．[易淆点]①同弧或等弧所对的圆周角________，都等于该弧所对的圆心角的一半；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧________；②半圆(或直径)所对的圆周角是________角；90°的圆周角所对的弦是________；③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是________三角形．一半相等相等直直径直角·江苏科技版│归类示例►类型之一垂径定理及其推论归类示例命题角度：1．垂径定理的应用2．垂径定理推论的应用3．点和圆的位置关系例1[2011·镇江]如图29－2，DE是⊙O的直径，弦AB⊥DE，垂足为C，若AB＝6，CE＝1，则OC＝________，CD＝________.图29－249│归类示例·江苏科技版[解析]连接OA，则OC＝OA－1，由垂径定理可得AC＝3，则在Rt△AOC中，利用勾股定理可得OA2＝OC2＋AC2，即OA2＝OA2＋1－2OA＋9，解此方程得OA＝5，则OC＝4，CD＝10－1＝9.垂径定理及其推论是证明两线段相等、两条弧相等及两直线垂直的重要依据之一，在有关弦长、弦心距的计算中常常需要作垂直于弦的直径(半径或弦心距)．利用垂径定理及其推论，使问题获得圆满解决．│归类示例·江苏科技版►类型之二圆心角、弧、弦之间的关系命题角度：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系例2[2011·济宁]如图29－3，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD、CD.(1)求证：BD＝CD；(2)请判断B、E、C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．图29－3·江苏科技版[解析](1)根据垂径定理和同圆或等圆中等弧对等弦证明；(2)利用同弧上的圆周角相等和等腰三角形的判定证明DB＝DE＝DC.解：(1)证明：∵AD为直径，AD⊥BC，∴BD＝CD.(2)B、E、C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．理由：由(1)知：∴∠BAD＝∠CBD.∵∠DBE＝∠CBD＋∠CBE，∠DEB＝∠BAD＋∠ABE，∠CBE＝∠ABE，∴∠DBE＝∠DEB，∴DB＝DE.由(1)知：BD＝CD，∴DB＝DE＝DC，∴B、E、C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．·江苏科技版►类型之三圆周角定理及其推论命题角度：1．利用圆心角与圆周角关系求圆周角或圆心角度数2．直径所对的圆周角或圆周角为直角的圆的相关计算例3[2011·连云港]如图29－4，点D为AC上一点，点O为边AB上一点，AD＝DO.以O为圆心，OD长为半径作圆，交AC于另一点E，交AB于点F、G，连接EF.若∠BAC＝22°，则∠EFG＝________.图29－433°·江苏科技版[解析]因为AD＝DO，所以∠A＝∠DOA＝22°，∠CDO＝∠A＋∠DOA＝44°，因为∠DEF＝11°，由三角形的内角和可知∠EDO＋∠DEF＝∠EFG＋∠DOA，即∠EFG＝33°.圆周角定理及其推论建立了圆心角、弦、弧、圆周角之间的关系，最终实现了圆中的角(圆心角和圆周角)的转化，从而为研究圆的性质提供了有力的工具和方法．·江苏科技版►类型之四与圆有关的开放性问题命题角度：1．给定一个圆，自由探索结论并说明理由2．给定一个圆，添加条件并说明理由·江苏科技版例4AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，E是直线AB上一动点(不与点A、B、G重合)，直线DE交⊙O于点F，直线CF交直径AB的延长线于点P.设⊙O的半径为r.(1)如图29－5①，当点E在直径AB上时，证明：OE·OP＝r2；(2)当点E在AB(或BA)的延长线上时，以如图②点E的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，(1)中的结论是否成立？请说明理由．图29－5·江苏科技版[解析](1)连接FO并延长交⊙O于Q，连接DQ.证明△FOE∽△POF.(2)依题意画出图形，连接FO并延长交⊙O于M，连接CM.类似(1)证明．解：(1)证明：连接FO并延长，交⊙O于Q，连接DQ.∵FQ是⊙O直径，∴∠FDQ＝90°.∴∠QFD＋∠Q＝90°.∵CD⊥AB，∴∠P＋∠C＝90°.∵∠Q＝∠C，∴∠QFD＝∠P.∵∠FOE＝∠POF，∴△FOE∽△POF.∴OEOF＝OFOP.∴OE·OP＝OF2＝r2.·江苏科技版(2)(1)中的结论成立．理由：如图，依题意画出图形，连接FO并延长交⊙O于M，连接CM.∵FM是⊙O的直径，∴∠FCM＝90°，∴∠M＋∠CFM＝90°.∵CD⊥AB，∴∠E＋∠D＝90°.∵∠M＝∠D，∴∠CFM＝∠E.∵∠POF＝∠FOE，∴△POF∽△FOE.∴OPOF＝OFOE，∴OE·OP＝OF2＝r2.·江苏科技版圆是一个特殊的封闭图形，它具有一些特殊的性质．在给定一个圆之后，可以得到不同类型的结论，与圆有关的开放性问题是近年中考中的常见类型，由于此类试题新颖、灵活又不难，广泛而又有科学尺度，考查了数学创新意识和创新能力，所以此类问题成为中考的热点之一．在解决这些问题的时候，要求掌握圆的性质的应用．·江苏科技版►类型之五尺规作图命题角度：能正确地按要求进行尺规作图例5[2010·泰州]已知△ABC，利用直尺和圆规，根据下列要求作图(保留作图痕迹，不要求写作法)，并根据要求填空：(1)作∠ABC的平分线BD交AC于点D；(2)作线段BD的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F.由(1)、(2)可得：线段EF与线段BD的关系为________．图29－6·江苏科技版解：(1)、(2)题作图如下：(2)设BD与EF交于点O，由“ASA”可以证得△EBO≌△FBO，∴EO＝FO,∴线段EF与线段BD的关系为：互相垂直平分．·江苏科技版中考需要掌握的尺规作图部分有如下的要求：①完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线．②利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形．③探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆．④了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法(不要求证明)．我们在掌握这些方法的基础上，还应该会解一些新颖的作图题，进一步培养形象思维能力．