2012年中考数学复习方案(苏科版)第5课时 数的开方与二次根式

│数的开方与二次根式·江苏科技版│考点聚焦考点聚焦·江苏科技版考点1平方根、算术平方根与立方根平方根：一个数x的________等于a，那么x叫做a的平方根，记作±a.算术平方根：一个正数x的________等于a，则x叫做a的算术平方根，记作a，0的算术平方根是0.立方根：一个数x的________等于a，那么x叫做a的立方根．[注意]求一个数的平方根的运算叫开平方，求一个数立方根的运算叫开立方．开方与乘方互为逆运算．平方平方立方│考点聚焦·江苏科技版考点2二次根式的有关概念1．形如a(________)的式子叫做二次根式．[注意]二次根式具有双重非负性，即二次根式中的被开方数a一定是非负数，否则没有意义，并且二次根式a≥0.2．化简二次根式的要求化简二次根式实际上就是使二次根式满足：(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；(2)被开方数中不含分母；(3)分母中不含根号．[点拨]满足上述三个条件的二次根式叫最简二次根式．3．同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果___________相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．a≥0被开方数│考点聚焦·江苏科技版考点3二次根式公式1．(a)2＝a(a____)．2.a2＝a＝a≥0；a0.≥0a－a│考点聚焦·江苏科技版考点4二次根式的运算1．加减法：先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根式进行合并．2．乘除法：a·b＝ab(a____，b____)；ba＝ba(a____，b____)．3．二次根式的混合运算(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序相同．先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)；(2)有理数的加法交换律、结合律、乘法交换律、结合律、分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．≥0≥00≥0│考点聚焦·江苏科技版考点5把分母中的根号化去常见的方法：(1)1a＝aa；(2)1a＋b＝a＋ba＋b.·江苏科技版│归类示例►类型之一求平方根、算术平方根与立方根归类示例命题角度：1．平方根、算术平方根与立方根的概念2．求一个数的平方根、算术平方根与立方根例1(1)[2011·成都]4的平方根是()A．±16B．16C．±2D．2(2)[2011·南京]9的值等于()A．3B．－3C．±3D.3CA│归类示例·江苏科技版[解析]9表示9的算术平方根，所以9＝3.(1)一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．(2)平方根等于本身的数是0，算术平方根等于本身的数是1和0，立方根等于本身的数是1、－1和0.(3)一个数的立方根与它同号．·江苏科技版►类型之二二次根式的有关概念命题角度：1．二次根式的概念2．最简二次根式的概念例2[2011·鄂州]要使式子a＋2a有意义，则a的取值范围为__________________．a≥－2且a≠0[解析]依题意a＋2≥0，a≠0，所以a≥－2且a≠0.│归类示例·江苏科技版(1)此类问题有意义的条件主要是根据：①二次根式的被开方数大于或等于零；②分式的分母不为零；③列不等式组，转化为求不等式组的解集．(2)在实数范围内，判断a，－a2等式子有无意义或已知这些式子有意义或无意义时，求被开方数中的字母的取值范围，容易出现考虑问题不周的错误，特别是分式与二次根式在同一式子中更容易出错．│归类示例·江苏科技版►类型之三二次根式的化简与计算命题角度：1．二次根式的性质：两个重要公式、积的算术平方根、商的算术平方根2．二次根式的加减乘除运算例3[2011·岳阳]将边长分别为2、22、32、42…的正方形的面积记作S1，S2，S3，S4，…，计算S2－S1，S3－S2，S4－S3，…，若边长为n2(n为正整数)的正方形面积记作Sn.根据你的计算结果，猜想Sn＋1－Sn＝________.4n＋2[解析]S1＝12×2，S2＝22×2，S3＝32×2，S4＝42×2，因此Sn＝n2×2，Sn＋1＝(n＋1)2×2，Sn＋1－Sn＝(n＋1)2×2－n2×2＝4n＋2.·江苏科技版例4[2011·宜宾]计算：3(3－π)0－20－155＋(－1)2011.解：原式＝3×1－(2－3)＋(－1)＝3.(1)利用二次根式的性质，先把每个二次根式化简，然后再进行运算．(2)在中考中常与零指数、负指数结合在一起考查．│归类示例·江苏科技版例5[2011·安顺]先化简，再求值：a－1a2－4a＋4－a＋2a2－2a÷4a－1，其中a＝2－3.解：原式＝a－1a－22－a＋2aa－2÷4－aa＝aa－1－a－2a＋2aa－22·a4－a＝1a－22.当a＝2－3时，原式＝13.·江苏科技版(1)此类分式属二次根式综合的计算问题，一般先化简再代入求值；(2)最后的结果要化为分母中没有根号的数或者是最简二次根式．│归类示例·江苏科技版►类型之四二次根式的大小比较命题角度：用有理数估计一个无理数的大致范围例6[2011·安徽]设a＝19－1，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是()A．1和2B．2和3C．3和4D．4和5C[解析]因为42＜19＜52，所以4＜19＜5，所以3＜19－1＜4，故选C.│归类示例·江苏科技版实数的估算一般步骤是首先将原数平方，看其在哪两个平方数之间，运用这种方法可以估计一个带根号的数的整数部分，估计其大致范围．│归类示例·江苏科技版►类型之五二次根式的非负性命题角度：1．二次根式的非负性的意义2．二次根式的非负性的化简例7[2011·乌兰察布]x＋1＋(y－2011)2＝0，则xy＝____.－1[解析]根据二次根式及平方的非负性得x＋1＝0，y－2011＝0，解得x＝－1，y＝2011，则xy＝－1.(1)利用非负数解题，常见的有三种情况：|a|，a，a2.若它们的和为零，则每一个式子都为0.(2)几个非负数的和等于零，那么这几个数都为零．·江苏科技版回归教材教材母题[江苏科技版九上P75复习题第4题]计算：50－15＋220－45＋22.解：原式＝52－55＋45－35＋22＝52＋22＋45－35－55＝1122＋455.[点析]按步骤进行，先化简，再合并同类二次根式．·江苏科技版中考变式[2011·包头]化简二次根式：27－12－3－12＝______.－2[解析]27＝33，12－3＝2＋3，12＝23.∴原式＝33－2－3－23＝－2.