31(新)华师版九年级数学下26.1二次函数

二次函数二次函数变量之间的关系函数一次函数反比例函数y=kx+b(k≠0)正比例函数y=kx(k≠0)y=(k≠0)xk知识回顾3.反比例函数的一般形式是什么？2.一次函数的定义是什么？ax2+bx+c=0形如y=kx+b(其中k,b为常数且k≠0)的函数叫做x的一次函数(a≠0)1.一元一次方程的一般形式是什么？ax+b=0(a≠0)4.一元二次方程的一般形式是什么？形如y=x/k(其中k为常数且k≠0)的函数叫做x的反比例函数温馨提示：同桌交流，互相帮助！试一试：探究问题1要用总长为20米的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃。怎样围法，才能使围成的面积最大？1设矩形靠墙的一边AB的长ｘｍ，矩形的面积yｍ2．能用含x的代数式来表示y吗？2试填下面的表3x的值可以任意取？有限定范围吗？4我们发现y是x的函数，试写出这个函数的关系式。AB的长ｘ(ｍ)１２３４５６７８９BC的长(ｍ)12面积ｙ(ｍ２)48xx20-2xy=x(20-2x)(0﹤x﹤10)Y=-2x2+20x(0﹤x﹤10)1818321442161050848642432180﹤x﹤102BCDA※Y随x增大先增大后减小探究问题2某商店将每商品进价为8元的商品按每10元出售，一天可售出约100件。该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润。经市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？1设每件商品降低x元（0≤x≤2），该商品每天的利润为y，y是x的函数吗？为什么要限定x的值？2怎样写出该关系式？试一试：温馨提示：同桌交流，互相帮助！单件利润(元)每天销量(件)每天利润(y元)降价x元前降价x元后100(10-8)×10010-8(10-x-8)(100+100x)100+10x/0.1y=(10-x-8)(100+100x)即y=-100x2+100x+200(0≤x≤2)每天利润=单件利润×每天销量讨论得到的两个函数关系式有什么特点?答(1)右边都是关于只含x的整式.(2)自变量x的最高次数是2.即都是自变量的二次整式！观察(１)Y=-2x2+20x(0﹤x﹤10)（２）y=-100x2+100x+200(0≤x≤2)提问对比一次函数归纳二次函数的定义？概念引入•二次函数的定义：•形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项，(1).y=ax2(2).y=ax2+c(3).y=ax2+bx(4).y=ax2+bx+c(a≠0b=0c=0)(a≠0b=0c≠0)(a≠0b≠0c=0)(a≠0b≠0c≠0)思考2:判断二次函数的关键是什么？判断一个函数是否是二次函数的关键是：看二次项的系数(a)是否为0．思考1:对于a;b;c是否可取任何实数呢？）它是正比例函数？（）它是一次函数？（）它是二次函数？（满足什么条件时，当是常数其中函数321,,),,(2cbacbacbxaxy01a）解：（0,0)2(ba做一做:0,0,0)3(cba思考：2.二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）一元二次方程一般式ax２＋bx＋c＝0（a≠0）有什么联系和区别？驶向胜利的彼岸联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且a≠0(2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是函数y=ax2＋bx＋c中y=0时得到的.区别:前者是函数y随x变化而变化.后者是方程，x若存在为两固定值.等式另一边前者是y,后者是0知识运用例1:下列函数中，哪些是二次函数？(1)y=3x-1()(2)y=3x2（)(3)y=3x3+2x2()(4)y=2x2-2x+1()(5)y=x-2+x()(6)y=x2-x(1+x)()不是是不是不是是不是()否否()22)3()2)(2()8(32)7(xxxyxxy(9)v=10πr²（是）xxy1)10(2否()注意：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式。0a（2）a,b,c为常数，且（3）等式的右边最高次数为2次，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项。（1）y=-x2+58x-112（2）y=πx2（3）y=x(1+x)知识运用m2—2m-1=2m+1≠0解得：m=3例2:m取何值时,函数y=(m+1)x+(m-3)x+m是二次函数？122mm解:由题意得00,3如果函数y=(k-3)x+kx+1是二次函数,则k的值一定是______k2-3k+2如果函数y=x+kx+1是二次函数,则k的值一定是______k2-3k+2展示才智3、若函数为二次函数，求m的值。mm221)x(my解：因为该函数为二次函数，则)2(01)1(222mmm解（1）得：m=2或-1解（2）得：11mm且所以m=2y=（m+3）m2-7（3）m取什么值时，此函数是二次函数？x已知函数（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？（2）m取什么值时，此函数是反比例函数？定义中应该注意的几个问题:小结拓展1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:(1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0,).(2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0).(3)y=ax²+bx(a≠0,b≠0,c=0).2.定义的实质是：ax²+bx+c是整式,自变量x的最高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.开动脑筋注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自变量的取值范围.例如：圆的面积y()与圆的半径x（cm)的函数关系是2cmy=πx2其中自变量x能取哪些值呢？0x问题：是否任何情况下二次函数中的自变量的取值范围都是任意实数呢？练习.写出下列各函数关系,并判断它们是什么类型的函数（1）写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a(cm)之间的函数关系；（2）写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系；（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系．（2）由题意得其中y是x的二次函数；（3）由题意得其中S是x的二次函数)0(42xxy解:（1）由题意得其中S是a的二次函数；)0(62aaS)260(1321)26(212xxxxxS张大爷用20m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为xm，菜园的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。当x=3m时，计算菜园的面积。xmym2xm（20-2x）m解：由题意得：y=x(20-2x)即：y=-2x2+20x(0x10)当x＝3m时，菜园的面积为：y=-2x2+20x＝-2×32+20×3＝42（m2）例3:已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析试.由题意得：为解：设所求的二次函数,2cbxaxy724410cbacbacba5,3,2cba解得，5322xxy所求的二次函数是｛待定系数法4.已知二次函数y=x²+px+q,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为-5,求这个二次函数的解析式.2,yxpxq解：把x=1,y=4和x=2,y=-5分别代入函数得：14425pqpq12,15.q解得，p21215yxx所求的二次函数是｛牛刀小试5.已知二次函数4)1(22xy当x=1时,函数y有最小值为4自变量x取任意实数（1）你能说出此函数的最小值吗？（2）你能说出这里自变量能取哪些值呢？小试牛刀圆的半径是1cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增加ycm².（1）写出y与x之间的函数关系表达式；（2）当圆的半径分别增加1cm,,2cm时,圆的面积增加多少？2cm1.课本P4练习。2.课本P4习题26.1。3.跟踪练习册作业书痴者文必工，艺痴者技必良。——蒲松龄