椭圆、双曲线、抛物线(精)

第2讲椭圆、双曲线、抛物线1.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|)||PF1|-|PF2|︱=2a(2a|F1F2︱)|PF|=点F不在直线l上，PM⊥l于M标准方程（ab0)(a0,b0)y2=2px(p0)图象12222byax12222byaxPM几何性质范围顶点(0,0)对称性关于x轴，y轴和原点对称关于x轴对称焦点（c,0）轴长轴长2a,短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b离心率e=1准线通径渐近线)0,2(pbyax,ax0x),0(),0,(ba)0,(aace221ab)10(eace221ab)1(ecax22pxabAB22pAB2xaby2.椭圆中的最值F1，F2为椭圆=1(ab0)的左、右焦点，P为椭圆的任意一点，B为短轴的一个端点，O为坐标原点，则有（1）|OP|∈［b,a］.(2)|PF1|∈［a-c,a+c］.（3）|PF1||PF2|∈［b2,a2］.(4)∠F1PF2≤∠F1BF2.（5）=b2tan(=∠F1PF2).（6）焦点弦以通径为最短.3.双曲线中的最值F1，F2为双曲线(a0,b0)的左、右焦点，P为双曲线上的任一点，O为坐标原点，则有2222byax12222byax221PFFS（1）|OP|≥a.（2）|PF1|≥c-a.（3）(=∠F1PF2).4.抛物线中的最值点P为抛物线y2=2px(p0)上的任一点，F为焦点，则有:（1）|PF|≥.（2）焦点弦AB以通径为最值，即|AB|≥2p.（3）A（m,n）为一定点，则|PA|+|PF|有最小值.5.双曲线的渐近线（1）求法：令双曲线标准方程的左边为零，分解因式可得.2tan221bSPFF2p（2）用法：①可得或的值.②利用渐近线方程设所求双曲线的方程.6.直线与圆锥曲线的位置关系（1）相离；（2）相切；（3）相交.特别地，①当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个公共点.②当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点.abba一、圆锥曲线的定义、几何性质、标准方程例1如图所示，椭圆上的点M与椭圆右焦点F1的连线MF1与x轴垂直，且OM（O是坐标原点）与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行.（1）求椭圆的离心率；（2）F2是椭圆的左焦点，C是椭圆上的任一点，证明：∠F1CF2≤（3）过F1且与AB垂直的直线交椭圆于P、Q，若△PF2Q的面积是，求此时椭圆的方程.12222byax2320思维启迪（1）从OM∥AB入手，寻找a，b，c的关系式，进而求出离心率.（2）在焦点三角形F1CF2中，用余弦定理求出cos∠F1CF2,再结合基本不等式.（3）设P（x1,y1）、Q（x2,y2），则用设而不求的思路求解.（1）解设椭圆方程为(ab0)，则，∴2121121yyFFSPQF12222byax),(2abcM,,2abkacbkABoM.22,22acecacbabacb（2）证明由椭圆定义得：|F1C|+|F2C|=2a，cos∠F1CF2===.|F1C||F2C|≤=a2，∴cos∠F1CF2≥，∴∠F1CF2≤.（3）解设直线PQ的方程为y=-(x-c),即y=-(x-c).CFCFFFCFCF2122122212CFCFCFCFca212122224412212CFCFb221)2(CFCF0122122222ccab2ba2代入椭圆方程消去x得：,整理得：5y2--2c2=0,∴y1+y2=,y1y2=.∴（y1-y2）2=.因此a2=50,b2=25,所以椭圆方程为.探究提高（1）求离心率，结合已知条件找到a,b,c的关系式；（2）C为椭圆上的任意一点，F1，F2为左、右焦点，当C点是椭圆短轴的一个端点时，∠F1CF2取得最大值.1)21(12222byycacy22522c522c254858)522(222ccc25,32053422122212ccyycSQPF1255022yx变式训练1已知圆F1：（x+1）2+y2=,圆F2：（x-1）2+y2=，动圆M与圆F1、F2都相切.（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）已知点A（-2，0），过点F2作直线l与曲线C交于P，Q两点，求的取值范围.解（1）设动圆圆心为M（x,y），圆M的半径为r,则|MF1|=r+，|MF2|=-r，∴|MF1|+|MF2|=4.则动圆圆心M的轨迹C为以F1（-1，0），F2（1，0）为焦点的椭圆.∵a=2,c=1，b2=3.故轨迹C的方程为.41449AQAP212713422yx(2)∵F2在曲线C内部，∴过F2的直线与曲线C恒有两个公共点.①当l与x轴重合时，P或Q有一个与A重合，∴.②当l⊥x轴时，P（），Q（），,,.③当l与x轴不重合也不垂直时，设l：y=k(x-1），P（x1,y1）,Q(x2,y2)y=k(x-1),由整理，得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0.Δ=144k2+1440恒成立.0AQAP23,123,1)23,3(AQ)23,3(AP427499AQAP13422yx∴x1+x2=,x1x2=.∴=（x1+2,y1）·（x2+2,y2）=(x1+2)(x2+2)+y1y2=x1x2+2(x1+x2)+4+k2(x1x2-x1-x2+1)==∵k20,∴0﹤﹤.综上，34822kk3412422kkAQAP.4270AQAP342722kk23427kAQAP427二、圆锥曲线中的定值与最值例2已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1.（1）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；（2）当∠ABC=60°时,求菱形ABCD面积的最大值.思维启迪（1）根据菱形的性质及条件求解.（2）由题意表示出菱形的面积，然后利用函数或不等式知识求解.解（1）由题意得直线BD的方程为y=x+1.因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.于是可设直线AC的方程为y=-x+n.x2+3y2=4,由得4x2-6nx+3n2-4=0y=-x+n,.因为A、C在椭圆上所以Δ=-12n2+640，解得.设A，C两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，则x1+x2=,x1x2=,y1=-x1+n,y2=-x2+n.所以y1+y2=.所以AC的中点坐标为.由四边形ABCD为菱形可知，点在直线y=x+1上，所以,解得n=-2.所以直线AC的方程为y=-x-2,即x+y+2=0.（2）因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC=60°,所以|AB|=|BC|=|CA|.334334n23n4432n2n)4,43(nn)4,43(nn1434nn所以菱形ABCD的面积S=|AC|2.由(1)可得|AC|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=,所以.所以当n=0时,菱形ABCD的面积取得最大值.探究提高解析几何中的最值问题涉及的知识面较广，解法灵活多样，但最常用的方法有以下几种：①利用函数，尤其是二次函数求最值；②利用三角函数，尤其是正、余弦函数的有界性求最值；③利用不等式，尤其是均值不等式求最值；④利用判别式求最值；⑤利用数形结合，尤其是切线的性质求最值.2321632n334334)(163(432nnS34变式训练2（2009·银川模拟）已知椭圆的离心率为，以右焦点F为圆心的圆过椭圆上的顶点B（0，b），且与直线l：相切.（1）求椭圆的方程；（2）过该椭圆的右焦点的直线交椭圆于M、N两点，该椭圆的左、右顶点分别为A1、A2，求证：直线MA1与直线NA2的斜率平方的比值为定值.（1）解设点F（c,0），其中.∵以右焦点F为圆心的圆过椭圆上的顶点B（0，b），∴圆的半径为r=.由圆与直线l：x++3=0相切，得=a，又a=2c，∴c=1，a=2，b=.)0(12222babyax21e033yx),0(,22bBbacacb22y323c3∴椭圆方程为.（2）证明设M（x1,y1）,N(x2,y2)，当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为x=1,∴当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=k(x-1)，将其代入，得(3+4k2)x2-8k2x+4k2﹣12=0,∴x1+x2=,∴.13422yx212211,21,21yyykykNAMA9:1:,3:1:221221NAMANAMAkkkk13422yx22438kk222143124kkxx222221212212222111)2()2(:,2,2yxxykkxykxykNAMANAMA而,将其代入上式，得综上，知直线MA1与直线NA2的斜率平方的比值为定值.三、圆锥曲线中的参数范围问题例3在平面直角坐标系xOy中，经过点（0，）且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q.（1）求k的取值范围；)4(43),4(4322222121xyxy.914)(24)(2)2)(2()2)(2(:2121212121212221xxxxxxxxxxxxkkNAMA21222yx（2）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由.思维启迪（1）将直线l的方程与椭圆方程联立转化为关于x的一元二次方程，利用Δ0求k的范围；（2）利用共线的条件建立等式求出k值进行判断.解（1）由已知条件知直线l的方程为y=kx+,代入椭圆方程得.整理得直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ=ABOQOP与21)2(222kxx0122)21(22kxxk024)21(48222kkk解得.即k的取值范围为.（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则=（x1+x2，y1+y2），由方程①得x1+x2=②又y1+y2=k(x1+x2)+③而A（，0），B（0，1），=（，1）.所以共线等价于x1+x2=(y1+y2)，将②③代入上式，解得k=.由（1）知k或k,故没有符合题意的常数k.2222kk或),22()22,(OQOP22124kk222AB2ABOQOP与2222222探究提高直线与圆锥曲线位置关系的判断，有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，此类问题涉及根与系数的关系，设而不求、整体代入的技巧和方法.变式训练3如图，已知直线l与抛物线x2=4y相切于点P（2，1），且与x轴交于点A，O为坐标原点，定点B的坐标为（2，0）.（1）若动点M满足，求点M的轨迹C；（2）若过点B的直线l′（斜率不等于零）与（1）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围.解（1）由x2=4y得y=x2,∴y′=x.∴直线l的斜率为y′|x=2=1.故l的方程为y=x-1，∴点A坐标为（1，0）.设M（x,y），则=（1，0），=（x-2,y）,=(x-1,y),由=0得（x-2）+y·0+·=0,整理，得+y2=1.02AMBMAB4121ABBMAMAMBMAB2222)1(yx22x∴动点M的轨迹C为以原点是中心，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为2的椭圆.（2）如图，由题意知直线l′的斜率存在且不为零，设l′方程为y=k(x-2)(k≠0),①将①代入+y2=1，整理，得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0∴x1+x2=,x1x2=②由此可得=·，=,且01.由②知（x1-2）+