椭圆与双曲线的简单几何性质典型例题

-1-椭圆与双曲线的简单几何性质典型例题知识点回顾一、椭圆1．椭圆的定义文字叙述：平面内与两个定点1F，2F的距离之和等于常数（大于12FF）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12FF叫做椭圆的焦距．数学语言：集合121222PMMFMFaaFF，，其中122FFc，0a，0c，a，c为常数，则集合P表示以1F，2F为焦点的椭圆．注意：（1）与圆的定义（平面内到一个定点的距离等于定长的点的轨迹）类比可知：二者的定义方式一致———都是通过对平面内与定点的距离满足某些条件的动点的轨迹研究得出的．（2）注意椭圆定义中的限制条件122aFF：当122aFF时，点的轨迹为线段12FF；当1202aFF时，点的轨迹不存在（或不表示任何图形）．2．两种标准方程（1）22221(0)xyabab，焦点在x轴上；（2）22221(0)yxabab，焦点在y轴上．注意：（1）参数关系：0ab，222abc，abc，，中a最大．（2）判断焦点位置的方法：①椭圆的焦点在x轴上标准方程中2x项的分母较大；②椭圆的焦点在y轴上标准方程中2y项的分母较大．3．椭圆方程的一般形式221(00)AxByABAB，，，其焦点位置有如下规律：当AB时，焦点在x轴上；当AB时，焦点在y轴上．注意：在求椭圆的标准方程时，有时不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的标准方程为221(00)AxByABAB，，，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出AB，的值即可．如：求焦点在坐标轴上，且经过(32)A，和(231)B，两点的椭圆的标-2-准方程．4．理解椭圆应注意的几点（1）椭圆的两个焦点总在它的长轴上．（2）离心率的大小对椭圆形状的影响：∵222211bacceaaa．∴当e趋近于1时，ba变小且越接近于0，椭圆越扁平；当e趋近于0时，ba变大且越接近于１，椭圆越圆．二、双曲线1．双曲线的定义文字叙述：在平面内到两个定点1F，2F距离之差的绝对值等于常数（小于12FF）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距．数学语言描述：集合1212202PMMFMFaaFF，，其中122FFc，0a，0c，ac，为常数，则集合P表示以1F，2F为焦点的双曲线．注意：（1）定义中的限制条件1202aFF．当122aFF时，点的轨迹为以1F，2F为端点的两条射线；当122aFF时，轨迹不存在（或不表示任何图形）；当20a时，点的轨迹是线段12FF的垂直平分线．（2）定义中的“绝对值”必不可少．若有“绝对值”，点的轨迹表示双曲线的两支；若去掉“绝对值”，点的轨迹仅为双曲线的一支．2．两种标准方程（1）22221(00)xyabab，，焦点在x轴上；（2）22221(00)yxabab，，焦点在y轴上．注意：双曲线与椭圆标准方程的不同：（1）“＋”、“－”号不同：椭圆标准方程中是“＋”号，双曲线标准方程中是“－”号；（2）ab，的大小关系不同：椭圆标准方程中0ab，而双曲线中ab，大小不确定；（3）abc，，关系不同：椭圆标准方程中222abc，而双曲线中222cab．3．双曲线方程的一般形式221(0)mxnymn，其焦点位置有如下规律：-3-当0m，0n时，焦点在x轴上；当0m，0n时，焦点在y轴上．注意：当不知焦点在哪个坐标轴上，求标准方程时常用此形式．如：求焦点在坐标轴上，且经过(42)A，和(2622)B，的双曲线的标准方程．4．理解双曲线应注意的几点（1）椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据．同样，双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个重要数据，由于2221bcaeaa，当e从接近1逐渐增大时，ba的值就从接近于0逐渐增大，双曲线的“张口”逐渐增大．（2）要掌握根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的求法．∵222200bxyxyyxaabab，∴把标准方程22221(00)xyabab，中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程．（3）已知渐近线方程求双曲线的标准方程的方法：①渐近线方程为0mxny的双曲线的方程为：2222mxny（0且为常数）．②与双曲线22221(00)xyabab，有共同渐近线的双曲线的方程可设为2222xyab（0且为常数）．经典例题例1已知椭圆06322mymx的一个焦点为（0，2）求m的值．分析：把椭圆的方程化为标准方程，由2c，根据关系222cba可求出m的值．解：方程变形为12622myx．因为焦点在y轴上，所以62m，解得3m．又2c，所以2262m，5m适合．故5m．例2已知椭圆的中心在原点，且经过点03，P，ba3，求椭圆的标准方程．-4-分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，求出参数a和b（或2a和2b）的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在x轴上时，设其方程为012222babyax．由椭圆过点03，P，知10922ba．又ba3，代入得12b，92a，故椭圆的方程为1922yx．当焦点在y轴上时，设其方程为012222babxay．由椭圆过点03，P，知10922ba．又ba3，联立解得812a，92b，故椭圆的方程为198122xy．例3ABC的底边16BC，AC和AB两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹．分析：（1）由已知可得20GBGC，再利用椭圆定义求解．（2）由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求A的轨迹方程．解：（1）以BC所在的直线为x轴，BC中点为原点建立直角坐标系．设G点坐标为yx，，由20GBGC，知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10a，8c，有6b，故其方程为013610022yyx．（2）设yxA，，yxG，，则013610022yyx．①由题意有33yyxx，代入①，得A的轨迹方程为0132490022yyx，其轨迹是椭圆（除去x轴上两点）．例4已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为354和-5-352，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．分析：讨论椭圆方程的类型，根据题设求出a和b（或2a和2b）的值．从而求得椭圆方程．解：设两焦点为1F、2F，且3541PF，3522PF．从椭圆定义知52221PFPFa．即5a．从21PFPF知2PF垂直焦点所在的对称轴，所以在12FPFRt中，21sin1221PFPFFPF，可求出621FPF，3526cos21PFc，从而310222cab．∴所求椭圆方程为1103522yx或1510322yx．例5已知椭圆方程012222babyax，长轴端点为1A，2A，焦点为1F，2F，P是椭圆上一点，21PAA，21PFF．求：21PFF的面积（用a、b、表示）．分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用CabSsin21求面积．解：如图，设yxP，，由椭圆的对称性，不妨设yxP，，由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限．由余弦定理知：221FF2221PFPF12PF·224coscPF．①由椭圆定义知：aPFPF221②则－①②2得cos12221bPFPF．故sin212121PFPFSPFF-6-sincos12212b2tan2b．例6已知椭圆1222yx，（1）求过点2121，P且被P平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过12，A引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足21OQOPkk，求线段PQ中点M的轨迹方程．分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．解：设弦两端点分别为11yxM，，22yxN，，线段MN的中点yxR，，则④，③，②，①，yyyxxxyxyx222222212122222121①－②得0221212121yyyyxxxx．由题意知21xx，则上式两端同除以21xx，有0221212121xxyyyyxx，将③④代入得022121xxyyyx．⑤（1）将21x，21y代入⑤，得212121xxyy，故所求直线方程为0342yx．⑥将⑥代入椭圆方程2222yx得041662yy，0416436符合题意，-7-故0342yx即为所求．（2）将22121xxyy代入⑤得所求轨迹方程为：04yx．（椭圆内部分）（3）将212121xyxxyy代入⑤得所求轨迹方程为022222yxyx．（椭圆内部分）（4）由①＋②得2222212221yyxx，⑦将③④平方并整理得212222124xxxxx，⑧212222124yyyyy，⑨将⑧⑨代入⑦得224424212212yyyxxx，⑩再将212121xxyy代入⑩式得221242212212xxyxxx，即12122yx．此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．例7已知动圆P过定点03，A，并且在定圆64322yxB：的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程．分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式．解：如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M．动点P到两定点，即定点03，A和定圆圆心03，B距离之和恰好等于定圆半径，即8BMPBPMPBPA．-8-∴点P的轨迹是以A，B为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422b的椭圆的方程：171622yx．说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．例8已知椭圆1422yx及直线mxy．（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．分析：直线与椭圆有公共点，等价于它们的方程组成的方程组有解．因此，只须考虑方程组消元后所得的一元二次方程的根的判别式．已知弦长，由弦长公式就可求出m．解：（1）把直线方程mxy代入椭圆方程1422yx得1422mxx，即012522mmxx．020161542222mmm，解得2525m．（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x，2x，由（1）得5221mxx，51221mxx．根据弦长公式得51025145211222mm．解得0m．因此，所求直线的方程为xy．例9以椭圆131222yx的焦点为焦点，过直线09yxl：上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程．分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，而这种类型的问题在初中就已经介绍过，只须利用对称的知识就可解决．-9-解：如图所示，椭圆131222yx的焦点为031，F，032，F．点1F关于直线09yxl：的对称点F的坐标为（－9，6），直线2FF的方