椭圆化圆的初步研究

椭圆化圆的初步研究胶州市实验中学刘红升2015.8椭圆化圆就是通过“伸缩变换”将坐标空间伸缩，使椭圆转化成圆（有些题目须再化回椭圆），使问题的运算量下降、难度降低，毕竟圆的“数形结合”属性要比椭圆明显好用的多！这也是转化化归思想的体现。并不是所有椭圆问题都可以化圆处理，必须保证转化前后的等价性。目前我认为能够明确等价的是：“直线与椭圆的位置关系”伸缩后等价于“直线与圆的位置关系”；直线平行关系等价；（直线的垂直关系及夹角大小一般会改变）；面积与伸缩成正比；直线斜率与伸缩反比；坐标与完全伸缩同步。平行或共线的线段长度比值不变！相互垂直的线段比值化其中一个关于y=x对称点后不变（见后面08文）！（证明略，其他情况暂不可控！）目前为止，我尚不能确定长度、角度是否存在可实际操作的关系，暂认为“不可控”。由于山东高考题11年来文理科均有一些题目必须依赖长度，因此能够用“椭圆化圆”处理的题目比例约为60%多一点（准确统计见后面的统计表），尽管“椭圆化圆”不是一种放之四海皆准的“通法”，但依然有很大的使用价值，从知识上看：近几年尖子生难以逾越140与解析几何关系最大，我们岂能因循守旧坐以待毙！11,,222222yxbyaxbxyaxx可转化为则椭圆SabSSabSmkbakmxkaybmkxy即不变！纵截距可化为：直线,1,椭圆化圆在山东高考中的有效率统计：20052006200720082009201020112012201320142015山东理科抛物线双曲线椭圆抛物线椭圆椭圆椭圆抛物线椭圆抛物线椭圆不可用不可用可用不可用不可用不可用有效不可用有效不可用有效椭圆化圆20052006200720082009201020112012201320142015山东文科抛物线椭圆椭圆椭圆椭圆椭圆椭圆椭圆椭圆椭圆椭圆不可用有效可用有效不可用可用有效不可用有效有效有效椭圆化圆椭圆有效率11年近9年近5年近3年山东文科总有效率54%56%80%100%山东文科椭圆类有效率60%56%80%100%山东理科总有效率28%33%60%67%山东理科椭圆类有效率50%50%100%100%例题分析：(2015山东理20题)平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，左、右焦点分别是12,FF,以1F为圆心，以3为半径的圆与以2F为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C上.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆2222:144xyEab，P为椭圆C上的任意一点，过点P的直线ykxm交椭圆E于A,B两点，射线PO交椭圆E于点Q.（ⅰ）求||||OQOP的值；（ⅱ）求ABQ面积最大值.研究：（Ⅰ）椭圆C的方程为2214xy.过程略。（Ⅱ）（ⅰ）椭圆化圆：1,,222yxCyyxx可化为圆：则椭圆，椭圆422yxE可化为圆：，如下图由数形结合知：POQOOPOQ212rr（Ⅱ）（ⅱ）1,,222yxCyyxx可化为圆：则椭圆,椭圆422yxE可化为圆：，104)(42216322222dABOdddddSSSOBAABOABQ的距离，到直线为其中364)(6222ddSABQ（2015山东文21题仅第（1）问与理科稍有不同，略）与常规法相比“椭圆化圆”充分利用了圆“数形结合”的属性，使此题此题大大降低运算量与运算能力！甚至可以乐观地估计，只要能够合理的转化过来，那么此题大部分“一本线上”的学生都能够得满分！OPQ（2014文22）圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，直线yx被椭圆C截得的线段长为4105.（Ｉ）求椭圆C的方程；（II）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）.点D在椭圆C上，且ADAB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点.（i）设直线BD，AM的斜率分别为12,kk，证明存在常数使得12kk，并求出的值；（ii）求OMN面积的最大值.注：本题由课本经典结论改编而成！研究：（Ｉ）椭圆C的方程：1422yx，过程略。（II）（i）1,,222yxCyyxx可化为圆：则椭圆.由题知：41ADABADABkkkk11ABkk,11144,1kxykkkkBBABAD，设直线)0,3()(4:BBBBBxMxxxyyyDB21212122212112kkkkkxykBB（ii）由（i）可求的：892169)(1698921)43,0(22OMNOMNBBBBOMNBSSyxyxNOMOSyN此题“椭圆化圆”的优势并不明显，因为此涉及斜率较多，即使在椭圆内运算量也不大，主要是量的代换问题！因此此题不是一道很典型适合“椭圆化圆”的题目，不过总体来看“椭圆化圆”还是使得此题稍变简单！A’B’D’M’N’（2013山东高考数学理科22题）椭圆C：22221xyab（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2,离心率为32，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为l.（Ⅰ）求椭圆C的方程；答案：1422yx（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1、PF2,设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点p作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1,PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明1211kkkk为定值，并求出这个定值.研究：（Ⅱ）考吧！系难找到！请老师们思的角平分线了，等价关已经不再是伸缩后21PFFPM（Ⅲ）1,,222yxCyyxx可化为圆：则椭圆.8)11(411,,23,23212121kkkkkkkkyxkxykxykPPPPPP太轻松了！椭圆化圆与常规方式比较起来无论是思维难度还是运算难度大大降低，甚至相当于一道小题！（2013山东高考数学文科22题（2））A,B为椭圆C：1222yx上满足AOB的面积为64的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C与点P，设OPtOE，求实数t的值研究：1,,222yxCyyxx可化为圆：则椭圆，方式一：332214341431221222或，或dEOPOOEOPtdddSSSAOBAOBAOB方式二：33221233sin216sin32343sin2122或或或dEOPOOEOPtrOEdrOEdBOABOArSSSAOBAOBAOB由于三角形面积公式太多，其他方式略。椭圆化圆与常规方式比较起来无论是思维难度还是运算难度大大降低，甚至相当于一道小题！(2012文科21)如图，椭圆2222:1(0)xyMabab的离心率为32，直线xa和yb所围成的矩形ABCD的面积为8.(Ⅰ)求椭圆M的标准方程；(Ⅱ)设直线:()lyxmmR与椭圆M有两个不同的交点,,PQl与矩形ABCD有两个不同的交点,ST.求||||PQST的最大值及取得最大值时m的值.研究：虽然长度本身伸缩后的变换“不可控”，但是共线与平行线段的比值伸缩前后不变，因此可保证此题的等价性！解析：mxyyxCyyxx21,,222，直线可化为：可化为圆：则椭圆当3,12m时，)12(263122mmSTPQ，以下略。当21,3m时，与3,12m时对称，结果相同！当1-2,2-1m时，263122mSTPQ，以下略。本题与常规方法相比椭圆化圆使得QP运算简化，但是ST、||||PQST等运算不仅未得到简化甚至略有增加。当然不排除换一种处理方式会好一些，我暂时还未想到其他好的处理方式！2012理科考得是抛物线，无法转化！（2011理科22题）已知直线l与椭圆C:22132xy交于P1xy.Q1xy两不同点，且△OPQ的面积S=62,其中Q为坐标原点。（Ⅰ）证明:2221xx和2221yy均为定值（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求PQOM的最大值；（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得26OEGODGODESSS若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由。研究：（Ⅰ）POQPOQSSyxCyyxx61,2,322，可化为圆：则椭圆,2)(2,3)(311)1)(1(1)1)(1()()(021sinsin11212122212221222122212221222122212221221212121yyyyxxxxyyyyxxxxyyxxyyxxQOPOQOPQOPQOPSPOQ（Ⅱ）不平行且不是比值问题等价关系难以找到！（Ⅲ）椭圆化圆会导致三角形形状改变且不可控（不好等价转化）！（2011山东文科22）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22:13xCy.如图所示，斜率为(0)kk＞且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线3x于点(3,)Dm.（Ⅰ）求22mk的最小值；（Ⅱ）若2OGOD∙OE，（i）求证：直线l过定点；（ii）试问点B，G能否关于x轴对称？若能，求出此时ABC的外接圆方程；若不能，请说明理由.研究：（Ⅰ）由于伸缩变换对于坐标是等价变换，因此很适合椭圆化圆处理！1),3(,311:),3(,3,331,,322kmlmDxkxkyllEOmDkkxxyxCyyxxEOEO上，在直线可化为，直线可化为圆：则椭圆研究：（Ⅱ）线段共线且次数相同，本质仍未比值问题，因此可通过等价转化使用“椭圆化圆”利用圆的“形”避开椭圆“联立”！）恒过（）恒过（上在直线又上，在直线又又，0,1-0,33-)33(3)31333(331)313(3:)313(331:)31,313(,313)1,3(),311,313(222222222222222222llxkkkxkkkkkxkylkkxkkkyllEkkkkElEkkxkDkkkGxxxEODOGOEOEEDG，最后一问：由于三角形形状会改变，因此难以找到外接圆的等价状态！（2010山东文22）说明理由。点的坐标；若不存在，足条件的？若存在，求出所有满满足、、、的斜率、、、，使得直线问直线上是否存在点证明：、的斜率分别为、）设直线（求椭圆的标准方程为坐标原点。，、和、与椭圆的交点分别是和轴上的任意一点，直线上且不在为直线点、，左、右焦点为），的离心率为，过点（如图，已知椭圆PkkkkkkkkODOCOBOAPkkkkPFPFODCBAPFPFxyxlPFFbabyaxODOCOBOAODOCOBOA022311,2)1(.2:22221)0(1,2221.212121212222研究：此题为斜率问题，等价转化容易！（Ⅰ）椭圆方程为1222yx，略。（Ⅱ）（1）椭圆化圆作用不大，运算量差不多，略！（Ⅱ）（2）22:1,,222yxlyxCyyxx，可化为圆：则椭圆)(222)11(222)(222)11(22