椭圆的定义及性质

问题：一架救援机从A地出发进行救援任务，之后必须回到B地加油，已知飞机一次最多能飞行500公里，而AB两地相距200公里，问这架飞机能够救援到的区域是怎样的？．．．．ABP．PPPP|PA|+|PB|=500|AB|=200•定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a(|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离2c叫做椭圆的焦距椭圆的定义和标准方程求方程的过程:解(1)建系：以F1F2所在的直线为x轴，以线段F1F2的中垂线为y轴建立直角坐标系,则有两焦点坐标分别为：F1(-c,0),F2(c,o)(2)设点p(x,y)是椭圆上一点,如图：根据已知有：|PF1|+|PF2|=2a·F1P(x,y)·yoF2x·这个椭圆的一个标准方程为：12222byax(ab0,a2=b2+c2)求方程的过程:解(1)建系：以F1F2所在的直线为y轴，以线段F1F2的中垂线为x轴建立直角坐标系,则有两焦点坐标分别为：F1(0,-c),F2(0,c)(2)设点p(x,y)是椭圆上一点,如图：根据已知有：|PF1|+|PF2|=2a·F1P(x,y)·yoF2x·这个椭圆的标准方程为：12222aybx(ab0,a2=b2+c2)椭圆的标准方程分类图示焦点坐标共性F1(-c,0)F2(c,0)长轴长:2a短轴长:2b焦距:2c(a2=b2+c2）F1(0,-c)F2(0,c)12222aybx12222byax椭圆的几何性质:()1.范围:|x|≤a|y|≤b椭圆位于直线x=±a和直线y=±b所围成的矩形区域内2.对称性：关于x轴和y轴对称，也关于原点中心对称12222byaxA1·F1·oF2xA1A2B2B1椭圆的几何性质:()·F1·oF2x12222byaxA1A2A1B2B13.顶点和长短轴：长轴：A1A2短轴：B1B2顶点：A1(-a,0)A2(a,0)B1(0,-b)B2(0,b)4.离心率：ace椭圆的第二定义:已知点M(x,y)到定点F(c,0)的距离和它到定直线的距离的比为常数(ac0)，求点M的轨迹方程cax2acM(x,y)·oFx··(这个方程是椭圆的一个标准方程，称这个定点F是椭圆的一个焦点，定直线是椭圆的一条准线，比值叫这个椭圆的离心率)caxl2:M(x,y)·oF2x··结论：椭圆有两条和它的两个焦点相对应的准线F1caxl2':结论：椭圆有两条和它的两个焦点相对应的准线12222aybx·F1·yoF2x与F2对应的准线方程：与F1对应的准线方程：cayl2:cayl2':例1：求椭圆4x2+y2=2的准线方程椭圆的焦点在y轴上，且a2=2,b2=0.5,c2=1.5椭圆的两条准线方程为解：由已知有椭圆的标准方程为122122yx3622322cayex1:椭圆的一个焦点到相应准线的距离为，离心率为，则椭圆的短轴长为多少？4532eg1:椭圆9x2+25y2-225=0上一点到左准线的距离为2.5,则P到右焦点的距离是()•(A)8(B)(c)7.5(D)7825椭圆的性质的应用：eg2:椭圆的右焦点为F，设点A,P是椭圆上一动点，求使取得最小值时的P的坐标，并求出这个最小值14522yx)3,25(||5||PFAP问题：平面内到两个定点F1，F2的距离的差是定值||PF1|-|PF2||=2a的点P的轨迹是什么？(1)若这个定值为0，它表示什么？(2)若这个定值=|F1F2|，它表示什么？(3)若这个定值|F1F2|，它表示什么？(4)若这个定值非零且|F1F2|,它表示什么？当差值为0时，即|PF1|=|PF2|时：P．F1F2．．轨迹是线段F1F2的中垂线．当|PF1|-|PF2|=|F1F2|时:或|PF2|-|PF1|=|F1F2|时:P．F1F2．．轨迹是分别以F1和F2为端点的两条射线．P（可不可能）？．P．P?当|PF1|-|PF2|的绝对值|F1F2|•不可能，因为在三角形中，两边之差小于第三边F1F2．．P•理想化的问题：•一个出租汽车司机想从A地点送一个乘客到达目的地后，然后返回B点的家，已知A、B两点的距离为20公里假设司机送客和返回家都是直线行驶，假设汽车每行驶一公里耗费一元，乘客每乘坐一公里付费二元，请问这个司机怎样考虑接受乘客的目的地，他才可能至少能收益15元？（假设不考虑职业道德）分析：为了把问题简单化，我们先研究司机刚好只收益15元的情形AB．Ｐ(目的地)2|PA|-(|PA|+|PB|)=|PA|-|PB|=15（注意:|PA|-|PB|=15|AB|=20）你会替司机出个主意了吗？（要求:|PA|-|PB|=15且|AB|=20）AB．Ｐ(目的地)|PA|-|PB|15时呢？定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a(|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线。这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点的距离叫做双曲线的焦距2c。(oac)双曲线的定义？：如果定义中没有“绝对值”这三个字，还是双曲线吗？双曲线的标准方程的求法：•为了体现双曲线的对称美，和我们研究数学的由简单到复杂的思维规律，我们也选择对称的建系方式，称如下建系所得的双曲线方程为双曲线的标准方程：xyOxyO建系设点找等量关系式翻译等量关系化简整理步骤：解:第(1)步：如图：以F1F2所在直线为x轴，以线段F1F2的中垂线为y轴，建立直角坐标系,则点F1和点F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0)OXYF1F2P第(2)步：设点P(x,y)双曲线上的任意一点，则有:OXYF1F2P|PF1|-|PF2|=±2a(3)由|PF1|-|PF2|=±2a和两点间的距离公式得：aycxycx2)()(2222接下aycxycx2)()(222222222)2)(()(aycxycx22222224)(4)()(aycxaycxycx222)(444ycxaacx222)(ycxaacx)2(222224222yccxxaaxcaxc)()(22222222acayaxac122222acyax12222byax)(222acb这就是焦点在x轴上的双曲线的标准方程焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？焦点在x轴上的双曲线的标准方程是：12222byax同理：焦点在y轴上的双曲线的标准方程是：12222bxay注：a2=c2-b2xyOxyO结论：例1已知两个定点的坐标分别是F1(-5,0),F2(5,0)求到这两点的距离的差的绝对值为6的点的轨迹方程例2已知一个动圆过点A(2,0),并且和一个定圆(x+2)2+y2=4相切,求这个动圆的圆心的轨迹方程双曲线的标准方程中的几个参量：•例3.判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三个量a,b,c的值。•①•②•③12422yx14222xy369422yx再请你指出各自的顶点和焦点坐标证明：设m,n0,则有：(1)和有公共的焦点，它们的实轴长和虚轴长正好对换(2)和有公共的渐进线，它们的实轴和虚轴正好对换。我们称它们为共轭双曲线12222nymx12222mynx12222nymx12222mxny例4：请判断以下方程表示什么样的曲线？并指出它们的焦点在哪个坐标轴上。13922kykx双曲线的渐近线方程练习：•例5.求出下列双曲线的渐近线的方程。•①•②•③12422yx14222xy369422yx与双曲线的渐近线有关的结论：(1)求双曲线的渐近线方程时，只需将上式右边的1换成0即可(2)双曲线表示任意以为渐近线的双曲线系(k≠0)12222byaxkbyax222202222byax-30-25-20-15-10-55101520253015105-5F2F1P双曲线的渐近线方程：12222byaxxaby例：双曲线的中心在原点，对称轴是两坐标轴，有一条渐近线方程为2x+3y=0,并且过定点(2,2)求这个双曲线的方程.(2,2)解法一：如图,双曲线的两条渐近线把坐标平面分成四部分，点(2,2)刚好在上部分，故有这条双曲线的焦点在y轴上，设它的标准方程为12222bxay由双曲线的标准方程为知它的渐近线方程为：12222bxayxxbay32ab23得又已知点(2，2)在双曲线上，则有：14422baab23解得：9202a52b故所求的双曲线的方程为：1592022xy解2：据题意：双曲线的渐近线方程为：xy32即032xykxy22)3()2(不妨设所求的双曲线的方程为：将点(2,2)的坐标代入上式：95)32()22(22k故所求的双曲线的方程为：1592022xy证明：双曲线上任一点到它的两渐近线的距离之积为定值，并求这个定值。证明：由已知，它的渐近线方程为12222byax0byax它们的标准方程为bx±ay=0设(x0,y0)是双曲线上的任意一点，则有：222222220222002200||||||cbabayaxbbaaybxbaaybx...p示意：如图，过点P向两条渐近线引垂线交两条渐近线于点M、N，则有：MN222||||cbaPNPM问题：|PM|+|PN|有最值吗？何时有，是多少？...pMN222||||cbaPNPM已知双曲线右支上一点P到它的右焦点的距离为10，则P到双曲线的左准线的距离是多少？...P(x,y)F2F1xyMN1366422yx回顾:椭圆的焦点半经公式及求法：12222bxay(2)设P(x,y)是椭圆上的任意一点，则|PF1|和|PF2|的值为a±ey12222byax(1)设P(x,y)是椭圆上的任意一点，则|PF1|和|PF2|的值为a±ex..F1F2.P(x,y)MN分析：如图，过点P向两准线引垂线交两准线于点M、N，根据双曲线的第二定义：exaaccaxePMPF)(||||21..F1F2.P(x,y)MNexaacxcaePNPF)(||||22同理：同理：当焦点在y轴上时：..F1F2.P(x,y)MNxy|PF1|=a+ey|PF2|=a-ey如下图提示：你能推出焦点在x轴上的双曲线的焦半经公式吗？...P(x,y)F2F1xyMN若它的焦点在x轴上，则有|PF1|、|PF2|为ex±a若它的焦点在y轴上呢？则有|PF1|、|PF2|为ey±a双曲线中三角形PF1F2中的边和角...P(x,y)F2F1xy正弦定理、余弦定理、和三角形面积公式在图中的体现及相互间的联系。...P(x,y)F2F1xy1221,FPFFPF不妨设(1)余弦定理：...P(x,y)F2F1xy)cos(||||2||||||212221221PFPFPFPFFF)cos(||||2||||212221PFPFPFPF)]cos(1[||||2|)||(|21221PFPFPFPF(2)正弦定理：...P(x,y)F2F1xy)sin(||sin||sin||2121FFPFPF)sin(||sinsin||||2121FFPFPF即(3)三角形的面积公式：...P(x,y)F2F1xy)sin(||||212121PFPFSFPF实例1：点P是双曲线上的一点，F1、F2是焦点，,求的面积1366422yx321PFF21FPF...pF1F2xy圆锥曲线的统一定义平面内到定点的距离和到定直线的距离的比是定值e的点的轨迹是：(1)当0e1时表示一个椭圆(2)当e1时表示一个双曲线(3)当e=1