高等数学练习答案7-1

习题7-11设uab2cva3bc试用a、b、c表示2u3v解2u3v2(ab2c)3(a3bc)2a2b4c3a9b3c5a11b7c2如果平面上一个四边形的对角线互相平分试用向量证明这是平行四边形证OAOBABODOCDC而OAOCOBOD所以ABOAOBOBOADC这说明四边形ABCD的对边ABCD且AB//CD从而四边形ABCD是平行四边形3把ABC的BC边五等分设分点依次为D1、D2、D3、D4再把各分点与点A连接试以cAB、aBC表示向量AD1、AD2、AD3、AD4解ac5111BDBAADac5222BDBAADac5333BDBAADac5444BDBAAD4已知两点M1(012)和M2(110)试用坐标表示式表示向量21MM及212MM解)2,2,1()2,1,0()0,1,1(21MM)4,4,2()2,2,1(2221MM5求平行于向量a(676)的单位向量解11)6(76||222a平行于向量a(676)的单位向量为)116,117,116(||1aa或)116,117,116(||1aa6在空间直角坐标系中指出下列各点在哪个卦限？A(123)B(234)C(234)D(231)解A在第四卦限B在第五卦限C在第八卦限D在第三卦限7在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置A(340)B(043)C(300)D(010)解在xOy面上点的坐标为(xy0)在yOz面上点的坐标为(0yz)在zOx面上点的坐标为(x0z)在x轴上点的坐标为(x00)在y轴上点的坐标为(0y0)在z轴上点的坐标为(00z)A在xOy面上B在yOz面上C在x轴上D在y轴上8求点(abc)关于(1)各坐标面(2)各坐标轴(3)坐标原点的对称点的坐标解(1)点(abc)关于xOy面的对称点为(abc)点(abc)关于yOz面的对称点为(abc)点(abc)关于zOx面的对称点为(abc)(2)点(abc)关于x轴的对称点为(abc)点(abc)关于y轴的对称点为(abc)点(abc)关于z轴的对称点为(abc)(3)点(abc)关于坐标原点的对称点为(abc)9自点P0(x0y0z0)分别作各坐标面和各坐标轴的垂线写出各垂足的坐标解在xOy面、yOz面和zOx面上垂足的坐标分别为(x0y00)、(0y0z0)和(x00z0)在x轴、y轴和z轴上垂足的坐标分别为(x000)(0y00)和(00z0)10过点P0(x0y0z0)分别作平行于z轴的直线和平行于xOy面的平面问在它们上面的点的坐标各有什么特点？解在所作的平行于z轴的直线上点的坐标为(x0y0z)在所作的平行于xOy面的平面上点的坐标为(xyz0)11一边长为a的立方体放置在xOy面上其底面的中心在坐标原点底面的顶点在x轴和y轴上求它各顶点的坐标解因为底面的对角线的长为a2所以立方体各顶点的坐标分别为)0,0,22(a)0,0,22(a)0,22,0(a)0,22,0(a),0,22(aa),0,22(aa),22,0(aa),22,0(aa12求点M(435)到各坐标轴的距离解点M到x轴的距离就是点(435)与点(400)之间的距离即345)3(22xd点M到y轴的距离就是点(435)与点(030)之间的距离即415422yd点M到z轴的距离就是点(435)与点(005)之间的距离即5)3(422zd13在yOz面上求与三点A(312)、B(422)和C(051)等距离的点解设所求的点为P(0yz)与A、B、C等距离则2222)2()1(3||zyPA2222)2()2(4||zyPB222)1()5(||zyPC由题意有222||||||PCPBPA即2222222222)1()5()2()2(4)1()5()2()1(3zyzyzyzy解之得y1z2故所求点为(012)14试证明以三点A(419)、B(1016)、C(243)为顶点的三角形是等腰三角直角三角形解因为7)96()11()410(||222AB7)93()14()42(||222AC27)63()14()102(||222BC所以222||||||ACABBC||||ACAB因此ABC是等腰直角三角形15设已知两点1),2,4(1M和M2(302)计算向量21MM的模、方向余弦和方向角解)1,2,1()12,20,43(21MM21)2()1(||22221MM21cos22cos21cos3243316设向量的方向余弦分别满足(1)cos0(2)cos1(3)coscos0问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？解(1)当cos0时向量垂直于x轴或者说是平行于yOz面(2)当cos1时向量的方向与y轴的正向一致垂直于zOx面(3)当coscos0时向量垂直于x轴和y轴平行于z轴垂直于xOy面17设向量r的模是4它与轴u的夹角是60求r在轴u上的投影解22143cos||jPrrru18一向量的终点在点B(217)它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为447求这向量的起点A的坐标解设点A的坐标为(xyz)由已知得774142zyx解得x2y3z0点A的坐标为A(230)19设m3i5j8kn2i4j7k和p5ij4k求向量a4m3np在x轴上的投影及在y轴上的分向量解因为a4m3np4(3i5j8k)3(2i4j7k)(5ij4k)13i7j15k所以a4m3np在x轴上的投影为13在y轴上的分向量7j