高等数学练习答案7-2

习题721设a3ij2kbi2jk求(1)ab及ab(2)(2a)3b及a2b(3)a、b夹角的余弦解(1)ab31(1)2(2)(1)3kjikjiba75121213(2)(2a)3b6ab6318a2b2(ab)2(5ij7k)10i2j14k(3)21236143||||||),cos(^bababa2设a、b、c为单位向量且满足abc0求abbcca解因为abc0所以(abc)(abc)0即aabbcc2ab2ac2ca0于是23)111(21)(21ccbbaaaccbba3已知M1(112)、M2(331)和M3(313)求与21MM、32MM同时垂直的单位向量解)1,4(2,2)1,13,13(21MM)2,2,0()13,31,33(32MMkjikjin4462201423221MMMM172161636||n)223(171)446(1721kjikjie为所求向量4设质量为100kg的物体从点M1(318)沿直线称动到点M2(142)计算重力所作的功(长度单位为m重力方向为z轴负方向)解F(0010098)(00980))6,3,2()82,14,31(21MMSWFS(00980)(236)5880(焦耳)5在杠杆上支点O的一侧与点O的距离为x1的点P1处有一与1OP成角1的力F1作用着在O的另一侧与点O的距离为x2的点P2处有一与2OP成角1的力F1作用着问1、2、x1、x2、|F1|、|F2|符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？解因为有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零再注意到对力矩正负的规定可得使杠杆保持平衡的条件为x1|F1|sin1x2|F2|sin20即x1|F1|sin1x2|F2|sin26求向量a(434)在向量b(221)上的投影解2)142324(31)1,2,2()4,3,4(1221||1||jPr222babbbaeaabb7设a(352)b(214)问与有怎样的关系能使得ab与z轴垂直?解ab(32524)ab与z轴垂abk(32524)(001)0即240所以2当2时ab与z轴垂直8试用向量证明直径所对的圆周角是直角证明设AB是圆O的直径C点在圆周上则OAOB||||OAOC因为0||||)()()()(22OAOCOAOCOAOCOBOCOAOCBCAC所以BCAC∠C909设已知向量a2i3jkbij3k和ci2j计算(1)(ab)c(ac)b(2)(ab)(bc)(3)(ab)c解(1)ab21(3)(1)138ac21(3)(2)8(ab)c(ac)b8c8b8(cb)8[(i2j)(ij3k)]8j24k(2)ab3i4j4kbc2i3j3kkjkjicbba332443)()((3)kjikjiba58311132(ab)c81(5)(2)10210已知ji3OAkj3OB求OAB的面积解根据向量积的几何意义||OBOA表示以OA和OB为邻边的平行四边形的面积于是OAB的面积为||21OBOAS因为kjikji33310301OBOA191)3()3(||223OBOA所以三角形OAB的面积为1921||21OBOAS12试用向量证明不等式||332211232221232221babababbbaaa其中a1、a2、a3、b1、b2、b3为任意实数并指出等号成立的条件解设a(a1a2a3)b(b1b2b3)则有||||),cos(||||^babababa于是||332211232221232221babababbbaaa其中当),cos(^ba1时即a与b平行是等号成立