高等数学练习答案8-3

习题831求下列函数的全微分(1)yxxyz解dyyzdxxzdzdyyxxdxyy)()1(2(2)xyez解xdyexdxexydyyzdxxzdzyxy12(3)22yxyz解因为2/3222322)()(21yxxyyxyxz2/3222222222)(yxxyxyxyyyxyz所以dyyxxdxyxxydz2/32222/322)()()()(2/322xdyydxyxx(4)uxyz解因为1yzxyzxuxzxyuyzlnxyxzuyzln所以xdzyxxdyzxdxyzxduyzyzyzlnln12求函数zln(1+x2+y2)当x1y2时的全微分解因为2212yxxxz2212yxyyz3121yxxz3221yxyz所以dydxdzyx3231213求函数xyz当x2y1x01y02时的全增量和全微分解因为xyxxyyzyxxxydz12所以当x2y1x01y02时119.0211.02)2.0(1z125.0)2.0(211.041dz4求函数zexy当x1y1x015y01时的全微分解因为yxexyeyyzxxzdzxyxy所以当x1y1x015y01时eeedz25.01.015.0*5计算33)97.1()102(的近似值解设33yxz由于yyzxxzyxyyxx3333)()(332233233yxyyxxyx所以取x1y2x002y003可得95.2212)03.0(2302.0321)97.1()02.1(32333*6计算(197)105的近似值(ln20693)解设zxy由于yyzxxzxxxyyy)(yxxxyxxyyyln1所以取x2y1x003y005可得(197)10520032ln2005197006932093*7已知边长为x6m与y8m的矩形如果x边增加5cm而y边减少10cm问这个矩形的对角线的近似变化怎样？解矩形的对角线为22yxz)(122yyxxyxydydzxdxdzdzz当x6y8x005y01时05.0)1.0805.06(86122z这个矩形的对角线大约减少5cm*8设有一无盖圆柱形容器容器的壁与底的厚度均为01cm内高为20cm内半径为4厘米求容器外壳体积的近似值解圆柱体的体积公式为VR2hVdV2RhRR2h,当R4h20Rh01时V2314420013144201553(cm3)这个容器外壳的体积大约是553cm3*9设有直角三角形测得其两腰的长分别为701cm和2401cm试求利用上述二值来计算斜边长度时的绝对误差解设两直角边的长度分别为x和y则斜边的长度为22yxz||||||||||||yyzxxzdzz|)|||(122yyxxyx令x7y24|x|01|y|01则得斜边长度z的绝对误差约为124.0)1.0241.07(247122zcm*10测得一块三角形土地的两边长分别为6301m和7801m这两边的夹角为601试求三角形面积的近似值并求其绝对误差和相对误差解设三角形的两边长为x和y它们的夹角z为则三角形面积为zxyssin21zdzxyzdyxzdxydScos21sin21sin21||cos21||sin21||sin21||||dzzxydyzxdxzydSS令x63y783z|dx|01|dy|01180dz则55.2718021278631.0232631.023278s82.21273sin786321S%29.182.212755.27Ss所以三角形面积的近似值为212782m2绝对误差为2755m2相对误差为129%*11利用全微分证明两数之和的绝对误差等于它们各自的绝对误差之和证明设uxy则||||||||||||yxyxyyuxxuduu所以两数之和的绝对误差|u|等于它们各自的绝对误差|x|与|y|的和*12利用全微分证明乘积的相对误差等于各因子的相对误差之和商的相对误差等于被除数及除数的相对误差之和证明设uxyyxv则uduydxxdy2yxdyydxdvv由此可得相对误差||||||||ydyxdxxyxdyydxuduuu||||||||yyxxydyxdx||||||||2ydyxdxyxyxdyydxvdvvv||||||||yyxxydyxdx