高等数学练习答案8-8

习题881求函数f(xy)4(xy)x2y2的极值解解方程组024),(024),(yyxfxyxfyx求得驻点为(22).fxx2fxy0fyy2在驻点(22)处因为fxxfyyfxy2(2)(2)040fxx20所以在点(22)处函数取得极大值极大值为f(22)82求函数f(xy)(6xx2)(4yy2)的极值解解方程组0)24)(6(),(0)4)(26(),(22yxxyxfyyxyxfyx得驻点(00)(04)(32)(60)(64)函数的二阶偏导数为fxx(xy)2(4yy2)fxy(xy)4(3x)(2y)fyy(xy)2(6xx2)在点(00)处因为fxxfyyfxy2002422420所以f(00)不是极值在点(04)处因为fxxfyyfxy200(24)22420所以f(04)不是极值在点(32)处因为fxxfyyfxy2(8)(18)028180fxx80所以f(32)36是函数的极大值在点(60)处因为fxxfyyfxy200(24)22420所以f(60)不是极值在点(64)处因为fxxfyyfxy2002422420所以f(64)不是极值综上所述函数只有一个极值这个极值是极大值f(32)363求函数f(xy)e2x(xy22y)的极值解解方程组0)22(),(0)1422(),(222yeyxfyyxeyxfxyxx得驻点)1,21(fxx(xy)4e2x(xy22y1)fxy(xy)4e2x(y1)fyy(xy)2e2x在驻点)1,21(处因为fxxfyyfxy22e2e024e20fxx2e0所以2)1,21(ef是函数的极小值4求函数zxy在适合附加条件xy1下的极大值解由xy1得y1x代入zxy则问题化为求zx(1x)的无条件极值xdxdz21222dxzd令,0dxdz得驻点21x因为022122xdxzd所以21x为极大值点极大值为41)211(21z5从斜边之长为l的一切直角三角形中求有最大周界的直角三角形解设直角三角形的两直角边之长分别为xy则周长Sxyl(0xl0yl)因此本题是在x2+y2l2下的条件极值问题作函数F(xy)xyl+(x2+y2l2)解方程组222021021lyxyFxFyx得唯一可能的极值点2lyx根据问题性质可知这种最大周界的直角三角形一定存在所以斜边之长为l的一切直角三角形中周界最大的是等腰直角三角形6要造一个容积等于定数k的长方体无盖水池应如何选择水池的尺寸方可使表面积最小解设水池的长为x宽为y高为z则水池的表面积为Sxy2xz2yz(x0y0z0)本题是在条件xyzk下求S的最大值作函数F(xyz)xy2xz2yz(xyzk)解方程组kxyzxyyxFxzzxFyzzyFzyx0220202得唯一可能的极值点)221,2,2(333kkk由问题本身可知S一定有最小值所以表面积最小的水池的长和宽都应为.23k高为3221k7在平面xOy上求一点使它到x0y0及x2y160三直线距离平方之和为最小解设所求点为(xy)则此点到x0的距离为|y|到y0的距离为|x|到x2y160的距离为221|162|yx而距离平方之和为222)162(51yxyxz解方程组0)162(5420)162(522yxyyzyxxxz即03292083yxyx得唯一的驻点)516,58(根据问题的性质可知到三直线的距离平方之和最小的点一定存在故)516,58(即为所求8将周长为2p的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体问矩形的边长各为多少时才可使圆柱体的体积为最大？解设矩形的一边为x则另一边为(px)假设矩形绕px旋转则旋转所成圆柱体的体积为Vx2(px)由0)32()(22xpxxxpxdxdV求得唯一驻点px32由于驻点唯一由题意又可知这种圆柱体一定有最大值所以当矩形的边长为32p和3p时绕短边旋转所得圆柱体体积最大9求内接于半径为a的球且有最大体积的长方体解设球面方程为x2+y2z2a2(xyz)是它的各面平行于坐标面的内接长方体在第一卦限内的一个顶点则此长方体的长宽高分别为2x2y2z体积为V2x2y2z8xyz令F(xyz)8xyz(x2y2z2a2)解方程组2222028028028azyxzxyFyxzFxyzFzyx即2222040404azyxzxyyxzxyz得唯一驻点)3,3,3(aaa由题意可知这种长方体必有最大体积所以当长方体的长、宽、高都为32a时其体积最大10抛物面zx2+y2被平面xyz1截成一椭圆求原点到这椭圆的最长与最短距离解设椭圆上点的坐标(xyz)则原点到椭圆上这一点的距离平方为d2x2+y2+z2其中xyz要同时满足zx2y2和xyz1令F(xyz)x2y2z21(zx2y2)2(xyz1)解方程组02022022212121zFyyFxxFzyx得驻点231yx32z它们是可能的两个极值点由题意这种距离的最大值和最小值一定存在所以距离的最大值和最小值在两点处取得因为在驻点处359)32()231(2222222zyxd所以3591d为最长距离3592d为最短距离