高等数学练习答案9-1

习题911设有一平面薄板(不计其厚度)占有xOy面上的闭区域D薄板上分布有密度为(xy)的电荷且(xy)在D上连续试用二重积分表达该板上全部电荷Q解板上的全部电荷应等于电荷的面密度(xy)在该板所占闭区域D上的二重积分DdyxQ),(2设13221)(DdyxI其中D1{(xy)|1x12y2}又23222)(DdyxI其中D2{(xy)|0x10y2}试利用二重积分的几何意义说明I1与I2的关系解I1表示由曲面z(x2y2)3与平面x1y2以及z0围成的立体V的体积I2表示由曲面z(x2y2)3与平面x0x1y0y2以及z0围成的立体V1的体积显然立体V关于yOz面、xOz面对称因此V1是V位于第一卦限中的部分故V4V1即I14I23利用二重积分的定义证明(1)Dd(其中为D的面积)证明由二重积分的定义可知Dniiiifdyxf10),(lim),(其中i表示第i个小闭区域的面积此处f(xy)1因而f()1所以010limlimDniid(2)DDdyxfkdyxkf),(),((其中k为常数)证明niiiiDniiiifkkfdyxkf1010),(lim),(lim),(Dniiiidyxfkfk),(),(lim10(3)21),(),(),(DDDdyxfdyxfdyxf其中DD1D2D1、D2为两个无公共内点的闭区域证明将D1和D2分别任意分为n1和n2个小闭区域1i和2in1n2n作和2222211111111),(),(),(niiiiniiiiniiiifff令各1i和2i的直径中最大值分别为1和2又max(12)则有niiiif10),(lim2222221111111010),(lim),(limniiiiniiiiff即21),(),(),(DDDdyxfdyxfdyxf4根据二重积分的性质比较下列积分大小(1)Ddyx2)(与Ddyx3)(其中积分区域D是由x轴y轴与直线xy1所围成解区域D为D{(xy)|0x0yxy1}因此当(xy)D时有(xy)3(xy)2从而Ddyx3)(Ddyx2)((2)Ddyx2)(与Ddyx3)(其中积分区域D是由圆周(x2)2(y1)22所围成解区域D如图所示由于D位于直线xy1的上方所以当(xy)D时xy1从而(xy)3(xy)2因而DDdyxdyx32)()((3)Ddyx)ln(与Ddyx3)(其中D是三角形闭区域三角顶点分别为(10)(11)(20)解区域D如图所示显然当(xy)D时1xy2从而0ln(xy)1故有[ln(xy)]2ln(xy)因而DDdyxdyx)ln()][ln(2(4)Ddyx)ln(与Ddyx3)(其中D{(xy)|3x50y1}解区域D如图所示显然D位于直线xye的上方故当(xy)D时xye从而ln(xy)1因而[ln(xy)]2ln(xy)故DDdyxdyx2)][ln()ln(5利用二重积分的性质估计下列积分的值(1)DdyxxyI)(其中D{(xy)|0x10y1}解因为在区域D上0x10y1所以0xy10xy2进一步可得0xy(xy)2于是DDDddyxxyd2)(0即Ddyxxy2)(0(2)DydxI22sinsin其中D{(xy)|0x0y}解因为0sin2x10sin2y1所以0sin2xsin2y1于是DDDdydxd1sinsin022即Dydx222sinsin0(3)DdyxI)1(其中D{(xy)|0x10y2}解因为在区域D上0x10y2所以1xy14于是DDDddyxd4)1(即Ddyx8)1(2(4)DdyxI)94(22其中D{(xy)|x2y24}解在D上因为0x2y24所以9x24y294(x2y2)925于是DDDddyxd25)94(922Ddyx2222225)94(29即Ddyx100)94(3622