第2课时 空间向量与垂直关系

第2课时空间向量与垂直关系在上一节中，我们研究了空间中直线与直线、直线与平面以及平面与平面的平行关系与直线的方向向量和平面的法向量的关系；那么，直线的方向向量和平面的法向量与空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系间又有什么联系呢？１．直线的方向向量如图,l为经过已知点A且平行于非零向量a的直线,那么非零向量a叫做直线l的方向向量.lAPa换句话说,直线上的非零向量叫做直线的方向向量.lA直线的向P量式程=ta方AalP平面α的向量式方程0aAP换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量.ll如果直线⊥平面α，取直线的方向向量a,则向量叫做平面的a法向量.2.平面的法向量1．求直线的方向向量和平面的法向量.(重点)2．利用方向向量和法向量处理线线、线面、面面间的垂直问题．(重点、难点)(1)lm0.abab探究点1垂直关系：lmab设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则(2)l//.auaulauABC平面,的法向量分别为,uv，则3（）uvuv0.αβuvlll⊥m⇔a⊥b⇔设直线的方向向量分别为a,b，平面α,β的法向量分别为，则线线垂直线面垂直面面垂直ab=0;⊥α⇔a∥u⇔a=λu;α⊥β⇔u⊥v⇔垂直关系,mu,uvv=0.探究点2求平面的法向量⑴设平面的法向量为(,,)nxyz.⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,,),(,,)aabcbabc.⑶根据法向量的定义建立关于,,xyz的方程组0,0.nanb⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.例1:在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)AB,(0,0,2)C,试求平面ABC的一个法向量.取4x,则(4,3,6)n所以(4,3,6)n是平面ABC的一个法向量.3,43,2yxzx解得已知AB=(2,2,1),AC=(4,5,3),求平面ABC的单位例2：法向量.设为平面的法向量n=（x，解：y，z），n⊥AB，n⊥AC,所以（x，y，z）(2,2,1)=0，（x，y，z）(4,5,3)=0,则2x+2y+z=0,即4x+5y+3z=0,1所以n=(,-1,1),2,3|n|=2122所以平面ABC的位法向量±(，-，）.333单为,,1x=取z=1，得2y=-1B2．若直线l的方向向量为a＝(－1,0，－2)，平面α的法向量为＝4,0,8，则(　　)A.l∥αB.l⊥αC.l⊂αD.lu与α斜交BoxyzABCO1A1B1C13.如图所示,正方体的棱长为1(1)直线OA的一个方向向量坐标为___________.(2)平面OABC的一个法向量坐标为___________.(3)平面AB1C的一个法向量坐标为___________.(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)EB=(2,0,-1),ED=(0,2,-1),1111114.正方体ABCD-ABCD,E是AA的中点，求证：平面EBD⊥平面CBD.设长为图的空间直角标，，证正方体棱2,建立如所示坐系E0,0,1,B2,0,0,D0,明2,0：Exyz平面C1BD的一个法向量是设平面EBD的一个法向量是(,,1),uxy0,uEBuED由11(,,1).22u得(1,1,1),v0,uv1所以平面EBD⊥平面CBD.空间中的垂直关系及其向量证明方法(1)线线垂直①证明两直线的方向向量垂直．②先证明线面垂直，利用线面垂直的性质．(2)线面垂直①证明直线的方向向量与平面的法向量平行．②证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直．③先证明面面垂直，利用面面垂直的性质．(3)面面垂直①证明两平面的法向量相互垂直．②转化为线线垂直或线面垂直．[提醒]根据题目条件，要灵活选择基向量法或坐标法．人生的价值，并不是用时间，而是用深度去衡量的.