相似矩阵与相似对角化

1二.相似矩阵的定义及性质定义:设都是阶矩阵，若存在可逆矩阵，使得,ABnP1PAPB则称矩阵是矩阵的相似矩阵，AB对进行运算称为对进行相似变换，A1PAP－APAB可逆矩阵称为把矩阵变成矩阵的相似变换矩阵。AB或称矩阵与矩阵相似，记作AB注：矩阵相似是一种等价关系（1）反身性：.AA（2）对称性：若则AB.BA（3）传递性：若则,,ABBC.AC2性质1:相似矩阵有相同的特征多项式、相同特征值、相同的行列式、相同的迹、相同的秩推论：若矩阵与对角阵相似，nnA12n则是的个特征值。12,,,nAn3(1)相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆。当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。其它的有关相似矩阵的性质：(3)若与相似，则与相似。（为正整数）ABmAmBm1111212.PAAPPAPPAP(5)11111221122PkAkAPkPAPkPAP(6)（为任意常数）12,kk(2)若与相似，则与相似。（为正整数）ABkkAkB(4)若与相似，而是一个多项式，AB()fx则与相似。()fA()fB4（2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似。注：（1）与单位矩阵相似的n阶矩阵只有单位阵E本身，与数量矩阵kE相似的n阶方阵只有数量阵kE本身。三.矩阵可对角化的条件（利用相似变换把方阵对角化）nA对阶方阵，如果可以找到可逆矩阵，P使得为对角阵，就称为把方阵对角化。1PAPA5定理1：阶矩阵可对角化（与对角阵相似）nA有个线性无关的特征向量。An（2）可逆矩阵由的个线性无关的特征向量作列向量构成。PAn(逆命题不成立)推论：若阶方阵有个互不相同的特征值,nAn则可对角化。（与对角阵相似）A注：（1）若则的主对角元素即为的特征值，,AAA矩阵的相似标准形。k如果不计的排列顺序，则唯一，称之为6例1:判断下列实矩阵能否化为对角阵？122(1)224242A212(2)533102A解:7220122(1)224242AE得1232,77得基础解系12221,0.01pp当时，齐次线性方程组为12220AEX1222244244AE12200000012322xxx当时，齐次线性方程组为70AEX378227254245AE11020110008得基础解系3122p132312xxxx2211020012123,,ppp线性无关即A有3个线性无关的特征向量，所以A可以对角化。9212(2)533102AE310212533102A得基础解系11,1所以不能化为对角矩阵.A1231.当时，齐次线性方程组为0AEX1231312523101AE10101100010解：460350361AE2120例2：设460350.361A若能对角化，求出可逆矩阵使得为对角阵。P1PAP问能否对角化？A1231,2.11得基础解系121,0p200.1p当时，齐次线性方程组为1210AEX360360360AE120000000122xx当时，齐次线性方程组为3220AEX6602330363AE101011000121323xxxx得基础解系311.1p2011010011123,,ppp线性无关，A可以对角化。令123201,,101011Pppp则有1100010002PAP13注意：若令31211121001,,0,Pppp即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．P1121.PAP则有14把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义。可对角化的矩阵主要有以下几种应用：1.由特征值、特征向量反求矩阵例3：已知方阵的特征值是A1230,1,3,相应的特征向量是1231111,0,2,111求矩阵.A15解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵是3阶方阵。A因为有3个不同的特征值，所以可以对角化。AA即存在可逆矩阵,使得P1PAP其中111102,111P01,3求得1111333110,22111636P161APP11133311101110210221113111636110121011172.求方阵的幂例4：设求45,23A100.A解：4523AE(2)(1)0121,2.A可以对角化。齐次线性方程组为当时，110AEx11005522AE系数矩阵12xx令得基础解系:21x111p18齐次线性方程组为当时，2220AEx250025225AE系数矩阵1252xx令得基础解系:21x252p令12(,)Ppp1512求得1251311P即存在可逆矩阵,使得P112PAP191APP1001001APP100151025131202111001001525(1)013121102100100101101252552132252203.求行列式例5：设是阶方阵，是的个特征值，An2,4,,2nAn计算3.AE解：方法1求的全部特征值，再求乘积即为行列式的值。3AE()3fxx设A的特征值是2,4,,2n即2,ii3AE的特征值是()23ifi1323(1)13(23)niAEin21方法2：已知有个不同的特征值，所以可以对角化，AnA即存在可逆矩阵,使得P1242PAPn1APP1133AEPPPEP1(3)PEP13PEP3E234323n(1)13(23)n224.判断矩阵是否相似解：方法13()3,BfAAAEB的特征值为(1)1(2)3(3)19fff令3()31fxxx3阶矩阵有3个不同的特征值，所以可以对角化。BB例6：已知3阶矩阵的特征值为1，2，3，A23,BAAE设问矩阵能否与对角阵相似？A23即存在可逆矩阵,使得P1123PAP113(3)PBPPAAEP1311(3)PAPPAPPEP1111()()()3PAPPAPPAPPAPE311123213311319方法2：因为矩阵有3个不同的特征值，所以可以对角化，A所以矩阵能与对角阵相似。B24例7：设阶方阵有个互异的特征值，nAn阶方阵与有相同的特征值。nBA证明：BA与相似。证：设的n个互异的特征值为A12,,,n则存在可逆矩阵,使得1P12111nPAP25又12,,,n也是矩阵的特征值，B所以存在可逆矩阵,使得2P12122nPBP111122PAPPBP112112PPAPPB即1111212()()PPAPPB即存在可逆矩阵,使得1PAPB112PPPBA即与相似。