2.10二维随机变量的边缘分布

上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回§2.10二维随机变量的边缘分布第二章随机变量及其分布上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回对于二维随机变量),(YX,我们可以对其中的任何§2.10二维随机变量的边缘分布称为),(YX的边缘概率分布.问题：已知联合分布,求边缘分布.一个变量或进行个别研究,而不管另一个变量取XY什么值,这样得到的分布,上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回),(YX设表示二维离散随机变量.),,(),(jijiyYxXPyxp)(ixXP),(1jjiyYxXP.,,,2,1mi),(1jjiyYxXP1.二维离散随机变量的边缘分布联合分布为：.,,,2,1nj;,,,2,1mi),,(1jjiyxp)(iXxp][的边缘概率函数X§2.10二维随机变量的边缘分布上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回于是的边缘分布表为：X)(ixXPX1x2xmx)(1xpX)(2xpX)(mXxp类似可得,.),()()(1ijijjYyxpyYPyp][的边缘概率函数Y§2.10二维随机变量的边缘分布上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回[例1]已知),(YX的联合分布表为求X与Y的边缘分布..4312531)1(XP则X的边缘分布表为：;4161121)0(XP:解X)(iXxp014143X012/16/13/112/5Y011§2.10二维随机变量的边缘分布上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回类似可得Y的边缘分布表为：Y012/512/7)(jYyp1:,即得下表上将它们写在联合分布表§2.10二维随机变量的边缘分布XY0112/16/13/112/5)(iXxp)(jYyp4/14/312/512/7011上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回设二维连续随机变量),(YX的联合分布函数为),,(yxF联合概率密度为),(yxf.)(xXP),(xF2.二维连续随机变量的边缘分布][的边缘分布函数X)(xFX),(YxXP.),(dyyxfdxx][的边缘概率密度X.),(dyyxf)(xFdxdX)(xfX§2.10二维随机变量的边缘分布上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回同理可得,.),(),()(xdyxfydyFyFyY.),()()(xdyxfyFyddyfYY][的边缘分布函数Y][的边缘概率密度Y§2.10二维随机变量的边缘分布上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回.,00,10),2(8.4),(其它；xyxxyyxf[例2]设二维随机变量),(YX的联合概率密度为:.)(),(yfxfYX求ydyxfxfX),()(10时，当x.)2(4.22xx:解)1(10时，或当xx;0ydyxfxfX),()(xydyxf0),(xydxy0)2(8.4x1Oyxyxx§2.10二维随机变量的边缘分布上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回.,0;10),2(4.2)(2其它xxxxfX从而xdyxfyfY),()(,10时或当yy)2(,10时当y1),(yxdyxfx1Oyxy1yy.)43(4.22yyy;0xdyxfyfY),()(1)2(8.4yxdxy§2.10二维随机变量的边缘分布上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回.,0;10),43(4.2)(2其它yyyyyfY从而§2.10二维随机变量的边缘分布上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回.,00,e),(其它；yxyxfy.)(),(yfxfYX求;0)(xfX,0时当xxydyxf),([例3]设二维随机变量),(YX的联合概率密度为::解)1(0时，当xxyydeydyxfxfX),()(.exxOyxyxx从而.,0;0,e)(其它xxfxX§2.10二维随机变量的边缘分布上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回;0)(xfY,0时当y)2(0时，当yxOyxyyyxd0e.eyyxdyxfyfY),()(yy.,0;0,e)(其它yyyfyY从而§2.10二维随机变量的边缘分布上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回§2.10二维随机变量的边缘分布小结1.边缘分布的含义,研究边缘分布的目的.2.二维连续随机变量的边缘分布的计算公式与具体求法：,),()(ydyxfxfX.),()(xdyxfyfY上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回§2.10二维随机变量的边缘分布思考题它们的联合和设有两个二维随机变量),,(),(VUYX概率密度分别为,,0;10,10,),(其它yxyxyx.,0;10,10),21)(21(),(其它vuvuvu.的边缘分布、、、求VUYX上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回§2.10二维随机变量的边缘分布解：,10,时或当显然xx;0)(xX,10时当xdyyxxX),()(10)(dyyx.21x的边缘分布为于是X.,0;10,21)(其它xxxX的边缘分布为类似可得Y.,0;10,21)(其它yyyY上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回§2.10二维随机变量的边缘分布,10时或当uu;0)(uU,10时当udvvuuU),()(10)21)(21(dvvu.21u的边缘分布为于是U.,0;10,21)(其它uuuU的边缘分布为类似可得V.,0;10,21)(其它vvvV上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回.它们有相同的边缘分布对于两个有这个例子表明,联系的随机变量，.分别研究它们是不够的上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回§2.11条件分布条件分布是条件概率的推广.本节主要讨论关于二维离散型随机变量的条件分布律和关于二维连续型随机变量的条件密度函数.上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回§2.11.1条件分布律定义:设(,)XY是二维离散型随机变量,其联合分布律(,),,1,2,,ijijpPXxYyij(,)XY关于X和Y的边缘分布律分别为.(),1,2,iipPXxi和.(),1,2,jjpPYyj，(1)对于给定的j,如果()0jPYy,则称.(,)(|),1,2,()ijijijjjPXxYypPXxYyiPYyp为在jYy的条件下随机变量X的条件分布律.(2)对于给定的i,如果()0iPXx,则称.(,)(|),1,2,()ijijjiiiPXxYypPYyXxjPXxp为在iXx的条件下随机变量Y的条件分布律.上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回例:设(,)XY的联合分布律如下求:(1)在X=3的条件下Y的条件分布律;(2)在Y=1的条件下X的条件分布律.YX12341140002181800311211211204116116116116上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回解(X,Y)关于X和Y的边缘分布律如表所示:YX1234.ip114000142181800143112112112014411611611611614.jp254813487481161上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回则在X=3的条件下Y的条件分布律313.1{3,1}112(1|3)1{3}34pPXYPYXPXpY1234(|3)jPYyX1313130其中如同理在Y=1的条件下X的条件分布律X1234(|1)iPXxY1225625425325上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回§2.11.2条件密度函数定义:设二维连续型随机变量(,)XY的联合密度函数为(,)fxy,(,)XY关于X和Y的边缘密度函数分别为()Xfx和()Yfy.(1)对于给定的y,如果()0Yfy,则称(,)()Yfxyfy为在Yy的条件下X的条件密度函数,记为|(|)XYfxy,即|(,)(|)()XYYfxyfxyfy;(2)对于给定的x,如果()0Xfx,则称(,)()Xfxyfx为在Xx的条件下Y的条件密度函数,记为|(|)YXfyx,即|(,)(|)()YXXfxyfyxfx.上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回例:设二维随机变量(,)XY服从单位圆221xy上的均匀分布,求:(1)在12X的条件下Y的条件密度函数;(2)在Yy的条件下X的条件密度函数.解:(X,Y)关于X和Y的边缘密度函数分别为22111()0Xxxfx其它和22111()0Yyyfy其它.上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回(1)在12X的条件下Y的条件密度函数|1133(,)12(|)22312()02YXXfyyfyf其它(2)在Yy的条件下X的条件密度函数222|111(,)(|)21()0XYYxyxfxyfxyyfy其它