11.2 简单的轴对称图形

第十一章生活中的轴对称11.2简单的轴对称图形新课预习预习课本P121-127(五分钟)，回答下列问题：1.简单的轴对称图形有哪些？什么是“三线合一”？2.等腰三角形的性质与判定分别是什么？3.线段与角的对称轴分别叫什么？线段垂直平分线与角平分线的定义分别是什么？4.线段的垂直平分线的性质与判定分别是什么？5.角平分线的性质与判定分别是什么？动手画画1.画一已知底边和腰的等腰三角形；2.画任意线段的中垂线；3.画任意角的平分线.1．等腰三角形的性质两条边相等(1)有__________的三角形叫等腰三角形．(2)相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．(3)等腰三角形的两个底角______(等边对等角)．(4)等腰三角形的__________、底边上的中线、底边上的___相互重合(三线合一)．(5)等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在的直线．构建数学相等顶角平分线高定义性质例1.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，已知∠A＝36°，试求∠CBD的度数．典型例题180°－36°解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.∴∠ABC＝∠C＝180°－∠A2＝2＝72°.∵BD⊥AC∴∠BDC＝90°∴∠CBD＋∠C＝90°.∴∠CBD＝90°－∠C＝90°－72°＝18°.即∠CBD的度数为18°.2.等腰三角形的判定方法(1)定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形．(2)定理：如果一个三角形有两个角________，那么这两个角所对的边也________(简写成“等角对等边”)．相等相等构建数学例2：如图，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC，求证：BC＝DC.得证BC＝DC.思路：连接BD，证明∠BDC＝∠DBC，证明：连接BD，在△ABD中，∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD.又∵∠ADC＝∠ABC，∴∠BDC＝∠DBC.∴BC＝DC.典型例题3.线段的垂直平分线及其概念（1）线段的垂直平分线的定义经过线段______并且________这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．中点垂直于构建数学中垂线（2）线段的垂直平分线的性质线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离____．相等（3）线段的垂直平分线的判定探究：如图，如果PA＝PB，试说明点P在线段AB的垂直平分线上．证明：过P点作l⊥AB，垂足是C，在Rt△APC与Rt△BPC中，∵PA＝PB，PC＝PC，HLBC∴△APC≌△BPC(______)．判定方法∴AC＝____，且PC⊥AB.即l是线段AB的垂直平分线．⇦构建数学结论：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的____________．垂直平分线上例3.如图，AB＝AD，BC＝DC，E是AC上的一点．求证：BE＝DE.思路：先证AC是BD的垂直平分线，再根据线段的垂直平分线的性质得到BE＝DE.典型例题证明：∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上．又∵BC＝DC，∴点C也在线段BD的垂直平分线上．∵两点确定一条直线，∴AC是线段BD的垂直平分线．又∵点E在AC上，∴BE＝DE.【误区辨析】要证明一条直线是线段的垂直平分线，必须要证明直线上有两点在垂直平分线上．典型例题4.角的平分线及其概念（1）角平分线的定义从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线.（2）角平分线的性质角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.构建数学（3）角平分线的判定到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.例4．已知，如图，OM为∠AOB的平分线，P为OM上一点，PC垂直OA于点C，PD垂直OB于点D，连接CD，图中有几个等腰三角形，并请简要说明理由．∴PC＝PD.∴△PCD是等腰三角形．②∵PC＝PD，∴∠PCD＝∠PDC.又∵PC⊥OA，PD⊥OB，∴∠PCO＝∠PDO＝90°.∴∠OCD＝∠CDO.∴OC＝OD.∴△OCD是等腰三角形．解：图中有两个等腰三角形：△PCD与△OCD.①∵PO平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，典型例题1.简单的轴对称图形有等腰三角形、线段、角.2.等腰三角形的定义、性质与判定.3.线段的中垂线的定义、性质与判定.4.角平分线的定义、性质与判定.课堂小结《百练百胜》七年级下册P76,P78的课后作业，其它选做；做完自己批改订正；然后明天上交.预习北师大七下第五章的《利用轴对称设计》课后作业1．一个三角形的三个内角之比为1∶2∶1，则这个三角形是()BA．等边三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等腰三角形122．如图，已知：在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC交AC于E，若DE＝7cm，AE＝5cm，则AC＝________cm.拓展提高3．如图，已知在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，求∠B和∠C的度数．解：∵在△ABD中，AB＝AD，∠BAD＝26°，∴∠B＝∠BDA＝12(180°－∠BAD)＝12(180°－26°)＝77°.∴∠CDA＝180°－∠BDA＝103°.∵在△ACD中，AD＝DC，∴∠C＝∠CAD＝12(180°－∠CDA)＝12(180°－103°)＝38.5°.拓展提高4.已知，如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于D，过D作DE∥BC交AC于F，交AB于E，求证：EF＝BE－CF.思路：先证BE＝DE，DF＝CF，即可证明结论.证明：∵DE∥BC，∴∠DBC＝∠BDE.∵∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD＝∠BDE.∴BE＝DE.同理DF＝CF.∵EF＝DE－DF，∴EF＝BE－CF.拓展提高5．已知：如图，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC，E点为BD的中点．求证：CE平分∠BCD.∵∠ADC＝∠ABC，∴∠ADC－∠ADB＝∠ABC－∠ABD，即∠BDC＝∠DBC.∴BC＝DC(等角对等边)．∴△BCD为等腰三角形．又∵E点为BD的中点，∴CE平分∠BCD(三线合一)．证明：∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD(等边对等角)．拓展提高