最新北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形1.3正方形的性质与判定第二课时

2014.9北师大版九年级数学(上)第一章特殊平行四边形第二课时正方形的判定2014.9对角线：相等互相垂直平分每条对角线平分一组对角。边:对边平行四边相等角：四个角都是直角图形的对称性：既是轴对称图形,又是中心对称图形.2014.9如图1-20，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开．怎样剪才能剪出一个正方形？2014.9满足什么条件的平行四边形是正方形？满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？请证明你的结论，并与同伴交流．定理:有一个角是直角的菱形是正方形.定理:有一组邻边相等的矩形是正方形.定理:有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形是正方形.2014.9正方形的判定（随堂练习1）定理:有一个角是直角的菱形是正方形.求证:四边形ABCD是正方形.证明:∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.∴∠A=∠B=∠C=900.∴四边形ABCD是矩形.∵四边形ABCD是菱形,∠A=900,∵AB=BC,∴四边形ABCD是正方形.已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900.ABCD2014.9定理对角线相等的菱形是正方形．从对角线的角度考虑：满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？请证明你的结论，并与同伴交流．定理对角线垂直的矩形是正方形．2014.9正方形的判定（随堂练习2）定理:对角线互相垂直的矩形是正方形.求证:四边形ABCD是正方形.证明:∴∠ABC=900,四边形ABCD是平行四边形.∵AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形.∵∠ABC=900.∵四边形ABCD是矩形,∴四边形ABCD是正方形.已知:四边形ABCD是矩形,且AC⊥BD.ABCDO2014.9正方形的判定（知识技能1）定理:对角线相等的菱形是正方形.求证:四边形ABCD是正方形.证明:∴AB=BC,四边形ABCD是平行四边形.∵AC=BD,∴四边形ABCD是矩形.∵AB=BC,∵四边形ABCD是菱形,∴四边形ABCD是正方形.已知:四边形ABCD是菱形,且对角线AC=BD.ABCDO2014.9平行四边形正方形一组邻边相等且一内角是直角1、正方形菱形2、一内角是直角或对角线相等矩形3、一组邻边相等或对角线垂直正方形正方形的判定方法：(可从平行四边形、矩形、菱形为基础）定义法菱形法矩形法2014.9①四条边相等，四个角都是直角②对角线互相垂直、平分且相等四边形正方形以四边形为基础：既是菱形又是矩形的四边形是正方形。2014.9例2：如图1-21，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BECF是正方形．证明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形BECF是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∠DCB=90°．又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，∴∠1=21∠ABC=45°，∠2=21∠DCB=45°．∴∠1=∠2．∴EB=EC．∴BECF是菱形．在△EBC中，∵∠1=45°，∠2=45°，∴∠6=90°．∴菱形BECF是正方形12432014.9我们知道，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点可以组成一个平行四边形．ABCHDEFG任意画一个正方形（如图1-22），以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形呢？先猜一猜，再证明．1232014.9模型依次连接任意四边形各边中点所成的四边形是平行四边形.ABCHDEFG证明：连接AC∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点∴EF∥AC，EF=AC，HG∥AC，HG=AC∴EF∥HG，EF=HG∴四边形EFGH是平行四边形2121已知：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形2014.9依次连接正方形各边中点所成的四边形是一个怎样的图形呢？先猜一猜,再证明.已知：E、F、G、H分别是正方形ABCD四边AB、BC、CD、AD的中点求证：四边形EFGH是正方形证明：∵四边形ABCD是正方形∴AB=BC=CD=DA∠A=∠B=∠C=∠D∵AE=BE=AB，BF=CF=BC，CG=DG=CD，DH=AH=AC∴AE=BE=BF=CF=CG=DG=HG=AH∴△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG∴EF=FG=GH=HE∴四边形EFGH是菱形∵∠1=∠2=45°∴∠3=90°∴四边形EFGH是正方形21212121123ABCHDEFG2014.9（1）以菱形或矩形各边的中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜，再证明．如果以平行四边形各边的中点为顶点呢？DBCADEFGABCHDEFGABCHDEFG（2）以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与哪些线段有关系？有怎样的关系？2014.9依次连接菱形各边中点所成的四边形是一个怎样的图形呢？先猜一猜,再证明.DBCAEHGF已知：在菱形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点。求证：四边形EFGH是矩形证明：连接AC、BD交于点O∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点∴HE∥BD，HE=BD，GF∥BD，GF=BD∴HE∥GF，HE=GF∴四边形EFGH是平行四边形2121∵AC⊥BDBD∥HE∴∠1=∠2=90°∵G、H是CD、AD的中点∴HG∥AC∴∠1+∠3=180°∴∠3=90°∴四边形EFGH是矩形O1232014.9图形之间的内在联系依次连接对角线相等的四边形各边中点所成的四边形是一个怎样的图形呢？先猜一猜,再证明.ABCHDEFG依次连接对角线垂直的四边形各边中点所成的四边形是一个怎样的图形呢？先猜一猜,再证明.ABCHDEFG2014.9图形之间的内在联系依次连接对角线相等且垂直的四边形各边中点所成的四边形是一个怎样的图形呢？先猜一猜,再证明.DBCAGEFG2014.9证明：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线垂直的矩形是正方形．1．证明：对角线相等的菱形是正方形．2014.92．已知：如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE=DF．求证：四边形AECF是菱形．2014.93．如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别在它的四条边上，且AE=BF=CG=DH．四边形EFGH是什么特殊四边形？你是如何判断的？2014.9∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°∴Rt△AA1B1≌Rt△BB1C1≌Rt△CC1D1≌Rt△DD1A12014.9定理:有一个角是直角（或对角线相等)的菱形是正方形.定理:有一组邻边相等（或对角线垂直）的矩形是正方形.定理:有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形.∵四边形ABCD是菱形,∠A=900（或AC=DB)∴四边形ABCD是正方形.∵四边形ABCD是矩形,AB=BC（或AC⊥BD）∴四边形ABCD是正方形.∴四边形ABCD是正方形.ABCDABCDO∵四边形ABCD是平行四边形,∠A=900且AB=BC4．判定一个四边形是正方形，你有哪些方法？2014.95．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A'B'C'O与正方形ABCD的边长相等．在正方形A'B'C'O绕点O旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积与正方形ABCD的面积有什么关系？请证明你的结论．DE2014.9再见