最新北师大版九年级数学上册第四章图形的相似4.4探索三角形相似的条件第1课时

4.4探索三角形相似的条件北师大版九年级数学上册什么是相似三角形？三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。根据定义我们判断两个三角形相似需要哪些条件？∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F──=──=──ABDEBCEFACDF△ABC∽△DEFABCEFD判定方法判定方法角边角（ASA）角角边（AAS）边边边（SＳS）边角边（SAS）（HL)斜边与直角边三角形全等三角形相似如果两个三角形有两个内角对应相等，那么这两个三角形一定相似吗？请依据下列条件画三角形：两人一组，一人画△ABC，另一人画△A1B1C1使∠A=∠A1＝45°∠B=∠B1＝30°画完后，请解答下列问题:①∠C=∠C1吗？②先量出自己所画的三角形三边的长度，再合作求出对应边的比:(比值精确到0.1），它们相等吗？111111CBBC、CAAC、BAAB③这两个三角形相似吗？两角对应相等的两个三角形相似∠A=∠A1∠B=∠B1△ABC∽△A1B1C1用数学符号表示CBAB1C1A1小试牛刀1、下列图形中两个三角形是否相似？ABCDEABCA’C’B’ABCA’B’C’ABCDE做一做2、判断题：⑴所有的等腰三角形都相似。（）⑵所有的等腰直角三角形都相似。（）⑶所有的等边三角形都相似。（）⑷所有的直角三角形都相似。（）⑸有一个角是100°的两个等腰三角形相似。（）⑹有一个角是70°的两个等腰三角形相似。（）×√√×√×做一做例1、已知：ΔABC和ΔDEF中，∠A=400，∠B=800，∠E=800，∠F=600。求证：ΔABC∽ΔDEFAFECBD证明：∵在ΔABC中，∠A=400，∠B=800，∴∠C=1800－∠A－∠B=1800－400－800＝600∵在ΔDEF中，∠E=800，∠F=600∴∠B=∠E，∠C=∠F∴ΔABC∽ΔDEF（两角对应相等，两三角形相似）。400800800600600例题欣赏∴△ADE∽△ABC⑵∵△ADE∽△ABC==ADABDEBCAEAC⑴找出图中的相似三角形，并说明由。⑵写出三组成比例的线段。例2：如图，D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，DE∥BCABCDE解：⑴△ADE∽△ABC理由是：∵DE∥BC∴∠ADE=∠B,∠AED=∠CADAEBDCE∴ACCEABBD已知：DE∥BC,分别交BA,CA的延长线于点D,点E。ABCDE问：△ADE与△ABC相似吗？解：相似。∵DE∥BC∴∠D=∠B,∠E=∠C∴△ADE∽△ABC学以致用例3ABCDE如图，如果DE∥BC，那么△ADE∽△ABC。如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边(或其延长线)分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似。ABCDEA型X型见平行想相似发散探究过△ABC(∠C∠B)的边AB上一点D作一条直线与另一边ＡＣ相交，截得的小三角形与△ABC相似，这样的直线有几条？请把它们一一作出来。这样的直线有几条？ABCD●ＡＢBCADEE∴△ADE∽△ABC∴△AED∽△ABC∵∠A=∠A∠AED=∠C∵∠A=∠A∠AED=∠B作DE,使∠AED=∠C作DE,使∠AED=∠B这样的直线有两条,如下图平截型斜截型BCAD（1）有一个锐角相等的两直角三角形是否为相似三角形？ABCA'B'C'∠B=∠B'∠A=∠A'相似（2）有一个角相等的两等腰三角形是否为相似三角形？顶角相等底角相等顶角与底角相等你有疑问吗？BCAA'B'C'第一种情况∴ΔABC∽ΔA'B'C'BCAA'B'C'第二种情况∴ΔABC∽ΔA'B'C'第三种情况ABCA'B'C'两三角形不相似（2）有一个角相等的两等腰三角形是否为相似三角形？顶角相等底角相等顶角与底角相等你有疑问吗？不相似直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。已知：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高。证明:∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=900此结论称为“母子相似”∴ΔACD∽ΔABC（两角对应相等，两三角形相似）同理ΔCBD∽ΔABC∴ΔABC∽ΔCBD∽ΔACD求证：ΔABCΔACD∽ΔCBD。∽ADBCADBCΔACD∽ΔABCACADABACABADAC2ABBDBC2BDADCD2射影定理1、探索了判断两个三角形相似的条件之一:两角对应相等的两个三角形相似.说说你的收获！2、平行截相似4、射影定理ABADAC2ABCDEABCDEA型X型ABBDBC2BDADCD23、母子相似直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。1．下列各组三角形一定相似的是（）A．两个直角三角形B．两个钝角三角形C．两个等腰三角形D．两个等边三角形D2．（烟台·中考）手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（）D3．（临沂·中考）如图，∠1=∠2，添加一个条件使得△ADE∽△ACB,______________________________.∠B=∠E(或∠C=∠D答案不唯一）CADEB124．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．解：∵DE:EA=2:3，∵EF∥AB，∴∠DEF=∠A,∴DE:DA=EF:AB，.∴DE:DA=2:5.∴△DEF∽△DAB，即2:5=4:AB，∴AB=10∴CD=10又∵∠D=∠D,5．在△ABC中，D是AB上的点，且∠ACD＝∠B，试说明（1）△ABC与△ACD相似.（2）AD=4,AC=6,求AB.ABCD【解析】（1）∵∠B＝∠ACD,∠A＝∠A,∴△ABC∽△ACD.（2）由（1）得AC:AB=AD:AC,即6:AB=4:6,∴AB=9.6.如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，证明：△ADE∽△EFC．图中还有相似三角形吗？若有请找出来．证明：∵DE∥BC（已知）∴∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等）又∵EF∥AB（已知）,∴∠A＝∠CEF（两直线平行，同位角相等）∴△ADE∽△EFC（两角分别相等的两个三角形相似）