(0.12)《信号分析与处理》备课教案(第六章)(3)

《信号分析与处理》教案第六章：Z变换及其应用上海大学机自学院自动化系朱晓锦1976.5.离散系统的Z域分析Z变换在离散时间系统的分析中获得了广泛的应用，其中基于Z变换方法的离散系统Z域分析内容十分丰富。以下对差分方程的Z域解法，离散系统的系统函数)(zH，以及利用)(zH的零极点分布进行离散系统的稳定性分析进行阐述。一、利用Z变换方法求解差分方程差分方程有时域和Z域两种解法，通常采用Z变换方法进行求解比较简便。Z变换法解差分方程的过程可分两步：先将差分方程两边取Z变换，利用位移性质并代入初始条件，则差分方程变成Z域的代数方程；然后解该代数方程并进行逆变换以得到差分方程的解。为了方便起见，通常采用单边Z变换。由第二章所学的知识，线性时不变离散系统的差分方程一般形式是)()1()1()()()1()1()(110110MnxbMnxbnxbnxbNnyaNnyanyanyaMMNN即，MrrNkkrnxbknya00)()(（6.5-1）将上式两边取单边Z变换，并利用Z变换的时移特性可得：《信号分析与处理》教案第六章：Z变换及其应用上海大学机自学院自动化系朱晓锦198MrrmmrrNkkllkkzmxzXzbzlyzYza0101)()()()(（6.5-2）若激励0)(nx，即系统处于零输入状态，此时表示系统的差分方程（6.5-1）即成为齐次方程：0)(0Nkkknya而式（6.5-2）也将变成：0)()(01NkkllkkzlyzYza于是，NkkkNkkllkkzazlyzazY001)()(（6.5-3）对)(zY求逆Z变换，显然得到的就是系统的零输入响应)(nyx，即。)()(1zYZnyx该响应是由系统的初始状态)(ly，这里)1(lN而产生的。若系统的初始状态0)(ly，这里)1(lN，即系统处于零初始状态，此时式（6.5-2）变成《信号分析与处理》教案第六章：Z变换及其应用上海大学机自学院自动化系朱晓锦199MrrmmrrNkkkzmxzXzbzYza010)()()(如果激励信号)(nx为因果序列，则有0)(1rmmzmx，因此上式成为：MrrrNkkkzXzbzYza00)()(于是，)()(00zXzazbzYNkkkMrrr令，NkkkMrrrzazbzH00)(则有，)()()(zXzHzY对)(zY求逆Z变换，显然得到的就是系统的零状态响应)(nyf，即。)()()(1zYZHZnyf该响应是在系统的初始状态0)(ly)1(lN时，由因果信号)(nx的激励而产生的。其中，)(zH就是下面将要讨论的离散系统的“系《信号分析与处理》教案第六章：Z变换及其应用上海大学机自学院自动化系朱晓锦200统函数”。综合上述两种情况，系统的全响应就等于零输入响应与零状态响应之和，即)()()(nynynyfx例1、若离散系统的差分方程为)()1(5.0)(nxnyny，其中)()(nunx，1)1(y。用Z变换方法求解系统的零输入响应、零状态响应和全响应。解：(1)零输入响应因为零输入响应是在激励0)(nx，仅由系统的初始条件1)1(y而产生的响应，因此原差分方程变为：0)1(5.0)(nyny对该方程两边取单边Z变换，并由时移特性可得：0)1(5.0)(5.0)(1yzYzzYxx所以，5.05.05.01)1(5.0)(1zzzyzYx因此，)(5.0)(5.05.05.05.0)]([)(111nunuzzZzYZnynnxx(2)零状态响应因为零状态响应是在系统的初始条件0)1(y的情况下，由因果信号)()(nunx激励下产生的响应，因此对原差分方程两边取单边Z变换，结合时移特性并《信号分析与处理》教案第六章：Z变换及其应用上海大学机自学院自动化系朱晓锦201考虑到系统初始条件为零，可得：)()(5.0)(1zXzYzzYff所以，5.012)1)(5.0(15.0115.01)()(211zzzzzzzzzzzzXzYf因此，)(5.02)(5.0)(25.012)]([)(111nununuzzZzzZzYZnynnff(3)全响应)()5.02()(]5.02[)(5.0)()()(11nunununynynynnnfx注意：在上面求)(zYx和)(zYx的逆变换而得到)(nyx和)(nyf时，虽然表面上似乎没有考虑收敛域的问题，实际是因为)(nyx和)(nyf均为响应，因此必然都是因果序列，因此其Z变换收敛域均是针对因果序列而言。例2、若离散系统的差分方程为:)2()2(2)1(3)(nxnynyny，其中1)1(y,0)2(y,)()(nunx。用Z变换方法求解系统的零输入响应、零状态响应和全响应。《信号分析与处理》教案第六章：Z变换及其应用上海大学机自学院自动化系朱晓锦202解：(1)零输入响应因为激励0)(nx，即0)2(nx，仅考虑初始条件1)1(y和0)2(y，因此原差分方程变为：0)2(2)1(3)(nynyny对该方程两边取单边Z变换，并由时移特性可得：0)2()1()(2)1()(3)(221zyzyzYzzyzYzzYxxx将初始条件1)1(y和0)2(y代入，并整理得：)2)(1(23232323132)(222211zzzzzzzzzzzzYx241zzzz)2(z因此，)()2(4)1()()2(4)()1(241)]([)(111nununuzzZzzZzYZnynnnnxx(2)零状态响应在因果信号)()(nunx激励下，系统方程为：)2()2(2)1(3)(nunynyny对该差分方程两边取单边Z变换，结合时移特性并考虑到系统初始条件为零，可得：1)(2)(3)(221zzzzYzzYzzYfff所以，《信号分析与处理》教案第六章：Z变换及其应用上海大学机自学院自动化系朱晓锦203231121161)2)(1)(1()231)(1()(21zzzzzzzzzzzzzzzYf因此，)()2(31)1(2161)()2(31)()1(21)(61231121161)]([)(1111nunununuzzZzzZzzZzYZnynnnnff(3)全响应)()2(311)1(2161)()()(nunynynynnfx二、离散系统的系统函数由时域分析已知，系统的零状态响应为激励与系统单位样值响应的卷积，即)()()(nhnxnyf将上式两边作Z变换，并利用Z变换的卷积特性可得：)()()(zHzXzYf这里，)]([)(nyZzYff，)]([)(nxZzX，)]([)(nhZzH可见，)()()(zXzYzHf《信号分析与处理》教案第六章：Z变换及其应用上海大学机自学院自动化系朱晓锦204称)(zH为离散时间系统的系统函数，它等于系统零状态响应的Z变换与激励的Z变换之比，同时)(zH与)(nh互为Z变换对。对于线性时不变离散系统差分方程的一般形式：MrrNkkrnxbknya00)()(在求解)(zH时，考虑到激励)(nx为因果序列，而对应与系统的零状态响应则初始条件为零，因此对上式两边取Z变换，则MrrrNkfkkzXzbzYza00)()(即，MrrrNkkkfzbzXzazY00)()(所以，NkkkMrrrfzazbzXzYzH00)()()(例1、求差分方程)(3)1(5.0)(nxnyny所描述的离散系统的系统函数)(zH和单位样值响应)(nh。解：设系统的初始状态为零，对差分方程两边作Z变换，可得：)(3)(5.0)(1zXzYzzY《信号分析与处理》教案第六章：Z变换及其应用上海大学机自学院自动化系朱晓锦205所以，5.03)()()(zzzXzYzH)5.0(z所以，)()5.0(35.03)]([)(11nuzzZzHZnhn例2、已知某一离散时间系统的单位样值响应为)()(nunh，设系统的激励输入为)(2)(nunxn，求系统的零状态响应)(nyf。解：因为，)()()(nxnhnyf即，)()()(zXzHzYf又因，1)]([)]([)(zznuZnhZzH)1(z2)](2[)]([)(zznuZnxZzXn)2(z所以，221)2)(1(221)()()(2zzzzzzzzzzzzXzHzYf)2(z所以，)(12)()2(2)(221)()(1111nununuzzZzzZzYZnynnff《信号分析与处理》教案第六章：Z变换及其应用上海大学机自学院自动化系朱晓锦206例3、某离散时间系统，已知当输入)(21)(nunxn时，其零状态响应为：)(21293142123)(nunynnnf求：(1)系统的单位样值响应)(nh(2)描述系统的差分方程解：(1)由题目所给的条件，可得：12221)(21)]([)(zzzznuZnxZzXn)21(z)(21293142123)]([)(nuZnyZzYnnnff)13)(12)(12(24122129314212323zzzzzzzzzzz所以，3122136126)()()(22zzzzzzzzzzXzYzHf所以，)()31(2)21(3)]([)(1nuzHZnhnn(2)由)(zH的表达式，可以得到：《信号分析与处理》教案第六章：Z变换及其应用上海大学机自学院自动化系朱晓锦207)(]126[)(]6[22zXzzzYzzzf上式两边同除以2z，可得：)(12)(6)()()(6121zXzzXzYzzYzzYfff所以，描述系统的差分方程为)1(12)(6)2()1()(6nxnxnynyny即，)1(2)()2(61)1(61)(nxnxnynyny三、系统函数的零极点分布与)(nh的关系在离散时间系统中，由于通过Z变换建立了时间函数)(nx与Z域函数)(zX之间的转换关系，因此可以从Z变换函数)(zX的形式反映出时间函数)(nx的内在性质。对于一个离散系统来说，一般它的系统函数)(zH为有理分式，因此其分子分母多项式都可以分解为因子相乘，而相应的因子也分别表示了)(zH的零点和极点的位置，即NkkMrrNkkkMrrrfpzzzGzazbzXzYzH1100)()()()()(式中，rz和kp分别为)(zH的零点和极点；G为实常数，并设MN。《信号分析与处理》教案第六章：