1.2正余弦定理的应用举例

1.2正余弦定理的应用举例1、正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin（其中：R为△ABC的外接圆半径）3、正弦定理的变形：CRcBRbARasin2,sin2,sin2RcCRbBRaA2sin,2sin,2sincbaCBA::sin:sin:sin2、三角形面积公式：CabBcaAbcSABCsin21sin21sin212sinsinsinabcRABC复习回顾CabbacBaccabAbccbacos2cos2cos2222222222变形abcbaCcabacBbcacbA2cos2cos2cos222222222余弦定理：在中，以下的三角关系式，在解答有关三角形问题时，经常用到，要记熟并灵活地加以运用：ABC;CBACBACBAcos)cos(,sin)sin(2sin2cos,2cos2sinCBACBA几个概念：•仰角：目标视线在水平线上方的叫仰角;•俯角：目标视线在水平线下方的叫俯角；•方位角：北方向线顺时针方向到目标方向线的夹角。N方位角60度水平线目标方向线视线视线仰角俯角三角形中的计算问题面积计算公式：CabBcaAbcSABCsin21sin21sin21海伦-秦九韶公式：11()()(),()22Sppapbpcpabc4abcSR例1、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55cm，∠BAC＝51o，∠ACB＝75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形sinsinABACCB＝解：根据正弦定理，得sinsinABACACBABCsin55sinsinsin55sin7555sin7565.7()sin(1805175)sin54ACACBACBABABCABCm答：A,B两点间的距离为65.7米。例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并且在C、D两点分别测得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=δ.在⊿ADC和⊿BDC中，应用正弦定理得sin()sin()sin()sin180()aaACsinsinsin()sin180()aaBC计算出AC和BC后，再在⊿ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离cos222BCACBCACAB练习1、一艘船以32.2nmile/hr的速度向正北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔6.5nmile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？11545sin2016.1sin207.787()sin45sin45,sin657.06()6.5ASBSBASABSBnmileSABhhSBnmilehnmile解：在中，＝，，由正弦定理得设点到直线的距离为则此船可以继续沿正北方向航行答：此船可以继续沿正北方向航行练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．（1）什么是最大仰角？最大角度最大角度最大角度最大角度（2）例题中涉及一个怎样的三角形？在△ABC中已知什么，要求什么？CAB练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．最大角度最大角度最大角度最大角度已知△ABC中AB＝1.95m，AC＝1.40m，夹角∠CAB＝66°20′，求BC．解：由余弦定理，得222222cos1.951.4021.951.40cos66203.571BCABACABACA1.89(m)BC答：顶杆BC约长1.89m。CAB,,,,,85,60,47,72,100,,,,,,(ABCDADCBDCACDBCDCDmABCDABm/例2如图为了测量河对岸两点之间的距离在河岸这边取点测得设在同一平面内试求之间的距离精确到1)ABCDsin134.05()sinDCADCADCACmDACsinsin116.54()DCBDCBDCBCDBCm2222cos3233.9557().()ABCABACBCACBCACBABm答略//).AnmileCnmilehnmilehmin例3某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇在处获悉,测出该渔船在方位角为45,距离为10的处,并测得渔船正沿方位角105的方向,以9的速度向小岛靠拢,我海军舰艇立即以21的速度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔船所用的时间(精确到0.1,时间精确到1ABC10545北北:()21,9,45(180105)120.xhBABxBCxACB解设舰艇收到信号后在处靠垅渔船,则22222222cos(21)10(9)2109cos120.369100,2()40(min)().3ABACBCACBCACBxxxxxxh由余弦定理，得即化简,得解得负值舍去sin9sin12033,sin,211421.8,4521.866.8.BCACBxBACABxBAC由正弦定理得方位角为66.8,40min.答：舰艇应沿着方位角的方向航行经过就可靠近渔轮21x109x120方程的思想1、分析题意，弄清已知和所求；2、根据题意，画出示意图；3、将实际问题转化为数学问题，写出已知所求；4、正确运用正、余弦定理。小结：求解三角形应用题的一般步骤：实际问题抽象概括示意图数学模型推理演算数学模型的解实际问题的解还原说明123121234,,.30,50,60,(0.1).FFFFNFNFFF例作用于同一点的三个力平衡已知与之间的夹角是求的大小与方向精确到3123,,,,.FFFFFF解：应和的合力平衡所以和在同一条直线上并且大小相等方向相反122,,305023050cos12070().OFFFN如图在中由余弦定理得1113,50sin12053sin,7014sin38.2,141.8.FOFFOFFOF再由正弦定理得33170,141.8.FNFF答为和间夹角为52,2,.?OAOABABABCBOACB例半圆的直径为为直径延长线上的一点.为半圆上的一点,以为一边作等边三角形问.点在什么位置时,四边形面积最大OBCA.AOBOAB解：设在三角形中,由余弦定理,得222222cos12212cos=54cos.SSSAOBABCABOBOAOBOAOACB于是,四边形面积为1321sin(54cos)2455sin3cos32sin()3.434213sin24OAOBAB550,,,,3266AOBOACB当时四边形面积最大.26.2320abxx例锐角三角形中，边、是方程CBABA，求角）（满足、的两根，角03sin2的面积。的长度及的度数，边ABCc解：23sin03sin2）（，）（BABA为锐角三角形ABCoBA120oC60的两根是方程、边02322xxba232abba，Cabbaccos2222abba32）（66122323221sin21CabSABC6c4.,150,3,3,.3.23.233.3xkmkmxABCD某人向东方向走千米后向右转然后朝新方向走了结果他离出发点恰好那么的值是或.1.200,______2.1,,Ex在米高的山顶上,测得山下一塔顶与与塔底俯角分别为30,60则塔高为有一长为千米的斜坡它的坡度为30,现要将它的坡度改为15则该坡比原来伸长____3.在一幢20米高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60,塔基的俯角为45,则这座塔吊的高为__________.40035006+2（）3201+3（）C5.,40,31,21,?CAACBCADCDA某观察站在城的南偏西20的方向,由城出发的一条公路走向是南偏东在处测得公路上处有一人距为千米正沿公路向城走去,走了20千米后到达处,此时间的距离为千米问这个人要走多少千米可到达城222202131cos22021143sin77BCDACBD2031东北21sinsin(60)1353sincos2214ACD21sin60sinAD6.,7.5,32.5,16.5..ABCBCCACAABABBCABC中求最大的内角:()BCCAABBCBCCAAB略解2BCBCBC27.516.593BCBC3,5.ABCA同理可求222222335cos2233acbBac此题有错误sinsin2.sin,.coscosBCExAABCBC已知试判断的形状3.,sin:sin:sin3:2:4cos_________.ExABCABCC在中那么4442224.,2()________ExABCabccabC中则5.,,30,45,.2:1.3:1.3:2.2:3ABABABABCD两人同时拉动有绳子的物体当和所拉着的绳子沿垂线成的角时和手上承受的力的比例7海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C岛间的距离是。ACB60°75°答：65海里解：应用正弦定理，C=45BC/sin60=10/sin45BC=10sin60/sin45例8已知△ABC的三内角A、B、C成等差，而A、B、C三内角的对边a、b、c成等比，试证明：△ABC为正三角形。证明：∵a、b、c成等比，∴b2=ac∵A、B、C成等差，∴2B=A+C，又由余弦定理得：60cos2cos222222accaBaccab,22accaac0)(2ca即，∴a=c又∵B=60o，∴△ABC是正三角形。acca22又A+B+C=180o，∴B=60o，A+C=120o例、为了测定河对岸两点A、B间的距离，在岸边选定1公里长的基线CD，并测得∠ACD=90o，∠BCD=60o，∠BDC=75o，∠ADC=30o，求A、B两点的距离.ABCDABCD分析：在四边形ABCD中欲求AB长，只能去解三角形，与AB联系的三角形有△ABC和△ABD，利用其一可求AB。∠ACD=90o，∠BCD=60o，∠BDC=75o，∠ADC=30o，略解：Rt△ACD中，AD=1/cos30o△BCD中，1/sin45=BD/sin60，可求BD。由余弦定理在△ABD中可求AB。)913.0630(AB练习：海中有岛A，已知A岛周围8海里内有暗礁，今有一货轮由西向东航行，望见A岛在北75°东，航行