圆教案

27.1.1圆的基本元素一、情境导入：圆是如何形成的？请同学们画一个圆，并从画圆的过程中阐述圆是如何形成的。同学们想一想，如何在操场上画出一个很大的圆？说说你的方法。由以上的画圆和解答问题的过程中，让同学们思考圆的位置是由什么决定的？而大小又是由谁决定的？（圆的位置由圆心决定，圆的大小由半径长度决定。二、探索新知据统计，某个学校的同学上学方式是，有50%的同学步行上学，有20%的同学坐公共汽车上学，其他方式上学的同学有30%，请你用扇形统计图反映这个学校学生的上学方式。我们是用圆规画出一个圆，再将圆划分成一个个扇形，右上图28.1.1就是反映学校学生上学方式的扇子形统计图。如图28.1.2,线段OA、OB、OC都是圆的半径，线段AB为直径，.这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为“⊙O”。线段AB、BC、AC都是圆O中的弦，曲线BC、BAC都是圆中的弧，分别记为BC︵、BAC︵，其中像弧BC︵这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，像弧BAC︵.这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。∠AOB、∠AOC、∠BOC就是圆心角。结合上面的扇形统计图，进一步阐述圆心角、优弧、劣弧等圆中的基本元素三、反馈练习1、直径是弦吗？弦是直径吗？2、半圆是弧吗？弧是半圆吗？3、半径相等的两个圆是等圆，而两段弧相等需要什么条件呢？4、比较右图中的三条弧，先估计它们所在圆的半径的大小关系，再用圆规验证你的结论是否正确。5、说出上右图中的圆心角、优弧、劣弧。6、直径是圆中最长的弦吗？为什么？四、课堂小结本节课我们认识了圆中的一些元素，同学应能从具体的图形中对这些元素加以识别。五、布置作业六、板书圆的基本元素1、圆心（决定圆的位置）、半径、直径（决定圆的大小）2、弦：直径是圆中最长的弦3、弧:半圆弧、优弧、劣弧4、圆心角:顶点在圆心的角图28.1.1CBAOCBAO27.1.2圆的对称性一、情境导入要同学们画两个等圆，并把其中一个圆剪下，让两个圆的圆心重合，使得其中一个圆绕着圆心旋转，可以发现，两个圆都是互相重合的。如果沿着任意一条直径所在的直线折叠，圆在这条直线两旁的部分会完全重合。由以上实验，同学们发现圆是中心对称图形吗？对称中心是哪一点？圆不仅是中心对称圆形，而且还是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是圆的对称轴。二、探索新知探索1同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。实验：将图形28.1.3中的扇形AOB绕点O逆时针旋转某个角度，得到图28.1.4中的图形，同学们可以通过比较前后两个图形，发现AOBAOB，ABAB，ABAB。实质上，AOB确定了扇形AOB的大小，所以，在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等。问题：在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦是否相等呢？在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧是否相等呢？应用与拓展思考：1、在一个半径为6米的圆形花坛里，准备种植六种不同颜色的花卉，要求每种花卉的种植面积相等，请你帮助设计种植方案。2、如图28.1.5，在⊙O中，ACBC，145，求2的度数。探索2我们知道圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，由此我们可以如图28.1.6那样十分简捷地将一个圆2等分、4等分、8等分.图28.1.6探索3如果在图形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB，垂足为P，再将纸片沿着直径CD对折，比较AP与PB、AC︵与CB︵，你能发现什么结论？你的结论是：_____________4、应用与拓展图28.1.3图28.1.4图28.1.5例1、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于M1、BC︵＝1cm，AD︵＝4cm，那么BD︵＝______cm，AC︵＝_________cm，⊙O的周长为___________cm．2、若CD=8，AB=10，则OM=3、若BM=1，CD=8，则OC=例2、如图已知以点O为公共圆心的两个同心圆,大圆的弦AB交小圆于点C、D（1）试说明线段AC与BD的大小关系。（2）若AB=8，CD=4，求圆环的面积。三、反馈练习在直径为10的圆柱形油桶内装入一些油后，截面如图示，如果油面宽AB=8，那么油的最大深度是四、教师小结1、圆不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形。2、（1）同一个圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等。（2）在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等。（3）在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧相等。3、垂径定理五、布置作业六、板书圆的对称性1、圆不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形。2、在同一个圆中，（1）相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等。（2）如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等。（3）如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧相等。3、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。例1例227.1.3圆周角一、情景导入如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样的特征？（顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角），今天我们要学习圆中的另一种特殊的角，它的名称叫做圆周角。二、探索新知1：圆周角（顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角）像图（3）中的解就叫做圆周角，而图（2）、（4）、（5）中的角都不是圆周角。练习：试找出图中所有相等的圆周角。2：圆周角的度数（结合图28.1.9）探究半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。反过来，90°的圆周角所对的弦是圆的直径，所对的弧是半圆。3：同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系（1）、分别量一量图28.1.10中弧AB所对的两个圆周角的度数比较一下.再变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化.你发现其中有什么规律吗？（2）、分别量出图28.1.10中弧AB所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你发现什么？猜想：在一个圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。为了验证这个猜想，如书中图所示，可将圆对折，使折痕经过圆心O和圆周角的顶点C，这时可能出现三种情况：（1）折痕是圆周角的一条边，（2）折痕在圆周角的内部，（3）折痕在圆周角的外部。分别加以证明。结论：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等；例题：如图28.1.12，AB是⊙O的直径，∠A＝80°．求∠ABC的度数．在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为（2x＋100）°和（5x－30）°，求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数.三、教师小结本节课我们一同探究了同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半；由这个结论进一步得到：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等；半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。90°（直角）的圆周角所对的弦是圆的直径等结论，希望同学们通过复习，记住这些知识，并能做到灵活应用他们解决相关问题。四、反馈练习：课本练习题五、布置作业六、板书圆周角1、定义2、半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。反过来，90°的圆周角所对的弦是圆的直径，所对的弧是半圆。3、圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等；例题解：图28.1.9图28.1.1027.2.1点与圆的位置关系一、情境导入同学们看过奥运会的射击比赛吗？射击的靶子是由许多圆组成的，射击的成绩是由击中靶子不同位置所决定的；上图是一位运动员射击10发子弹在靶上留下的痕迹。你知道这个运动员的成绩吗？请同学们算一算。（击中最里面的圆的成绩为10环，依次为9、8、…、1环）这一现象体现了平面上的点与圆的位置关系，如何判断点与圆的位置关系呢？这就是本节课研究的课题。二、探索新知1、点与圆的位置关系我们知道圆上的所有点到圆心的距离都等于半径，若点在圆上，那么这个点到圆心的距离等于半径，若点在圆外，那么这个点到圆心的距离大于半径，若点在圆内，那么这个点到圆心的距离小于半径。如图28.2.1，设⊙O的半径为r，A点在圆内，B点在圆上，C点在圆外，那OA＜r，OB＝r，OC＞r．反过来也成立，即若点A在⊙O内OAr若点A在⊙O上OAr若点A在⊙O外OAr即时训练1、⊙O的半径5rcm，圆心O到直线的AB距离3dODcm。在直线AB上有P、Q、R三点，且有4PDcm，4QDcm，4RDcm。P、Q、R三点对于⊙O的位置各是怎么样的？2、RtABC中，90C，CDAB，13AB，5AC，对C点为圆心，6013为半径的圆与点A、B、D的位置关系是怎样的？2、不在一条直线上的三点确定一个圆问题与思考：平面上有一点A，经过A点的圆有几个？圆心在哪里？平面上有两点A、B，经过A、B点的圆有几个？圆心在哪里？平面上有三点A、B、C，经过A、B、C三点的圆有几个？圆心在哪里？。图23.2.2图23.2.3从以上的图形可以看到，经过平面上一点的圆有无数个，这些圆的圆心分布在整个平面；经过平面上两点的圆也有无数个，这些圆的圆心是在线段AB的垂直平分线上。经过A、B、C三点能否画圆呢？同学们想一想，画圆的要素是什么？（圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小），所以关键的问题是定其加以和半径。如图28.2.4，如果A、B、C三点不在一条直线上，那么经过A、B两点所画的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上，而经过B、C两点所画的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上，此时，这两条垂直平分线一定相交，设交点为O，则OA＝OB＝OC，于是以O为圆心，OA为半径画圆，便可画出经过A、B、C三点的圆．思考：如果A、B、C三点在一条直线上，能画出经过三点的圆吗？为什么？即有：不在同一条直线上的三个点确定一个圆也就是说，经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。思考：随意画出四点，其中任何三点都不在同一条直线上，是否一定可以画一个圆经过这四点？请举例说明。3、应用与拓展例1、如图，已知RtABC中，90C，若5ACcm，12BCcm，求ΔABC的外接圆半径。图28.2.1图28.2.4三、反馈练习1、如图，已知等边三角形ABC中，边长为6cm，求它的外接圆半径。解：略2、如图，等腰ABC中，13ABACcm，10BCcm，求ABC外接圆的半径。四、课堂小结本节课我们学习了用数量关系判断点和圆的位置关系和不在同一直线上的三点确定一个圆，求解了特殊三角形直角三角形、等边三角形、等腰三角形的外接圆半径，在求解等腰三角形外接圆半径时，运用了方程的思想，希望同学们能够掌握这种方法，领会其思想。五、布置作业六、板书27.2.1点与圆的位置关系1、点与圆的位置关系若点A在⊙O内OAr若点A在⊙O上OAr若点A在⊙O外OAr2、不在同一条直线上的三个点确定一个圆3、外接圆、内接三角形、外心图23.2.2图23.2.3例1CBAOED例2CBAOAD例3CB图28.2.4图28.2.127.2．2直线与圆的位置关系一、情境导入：用移动的观点认识直线与圆的位置关系1、同学们也许看过海上日出，如右图中，如果我们把太阳看作一个圆，那么太阳在升起的过程中，它和海平面就有右图中的三种位置关系。2、请同学在纸上画一条直线，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线与圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？二、探究新知：从以上的两个例子，可以看到，直线与圆的位置关系只有以下三种，如下图所示：如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离，如图28.2.6（1）所示．如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切，如图28.2.6（2）所示．此时这条直线叫做圆的切线，