2019杨浦二模数学卷(含解析)

积极拼搏锐意进取，全心全意以学生学习为中心选择菁英高中，成就名校梦想精益求精，不断超越，成就学生，成就梦想1/72019杨浦二模数学卷一、填空题1.函数2()12sinfxx的最小正周期是__________．2.方程组310,2540xyxy的增广矩阵为__________．3.若幂函数kfxx的图像过点（4，2），则(9)f__________．4.若13nx的二项展开式中2x项的系数是54，则n__________．5.若复数z满足234iabi（i为虚数单位，,abR），则22ab__________．6.函数1log3ayx(0a且1a)的反函数为1fx，则11f__________．7.函数arcsin211xxy的值域是__________．8.哥德巴赫猜想是“每个大于的2偶数可以表示为两个素数的和”，如835．在不超过13的素数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率是_________．（用分数表示）.9.若定义域为(,0)(0,)U的函数12,0()2,0xxxfxmx是奇函数，则实数m值为____．10.古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点)0,(),0,(aBaA，动点P满足||||PAPB（其中a和是正常数，且1），则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”.该圆的半径为__________．11.若ABC内角CBA,,，其中G为ABC的重心，且0GAGBuuuruuur，则Ccos最小值为_____．12.定义域为集合{1,2,3,,12}上的函数)(xf满足：①1)1(f；②|(1)()|1fxfx（1,2,,11xL）；③)12(),6(),1(fff成等比数列.这样的不同函数)(xf的个数为_____．二、选择题13.若x、y满足0,2,0,xyxyy则目标函数2fxy的最大值为())(A1)(B2)(C3)(D4积极拼搏锐意进取，全心全意以学生学习为中心选择菁英高中，成就名校梦想精益求精，不断超越，成就学生，成就梦想2/714.已知命题:“双曲线的方程为2220xyaa”和命题：“双曲线的两条渐近线夹角为2”，则是的（）)(A充分非必要条件)(B必要非充分条件)(C充要条件)(D既非充分也非必要条件15.对于正三角形T，挖去以三边中点为顶点的小正三角形，得到一个新的图形，这样的过程称为一次“镂空操作”.设T是一个边长为1的正三角形，第一次“镂空操作”后得到图1，对剩下的3个小正三角形各进行一次“镂空操作”后得到图2，对剩下的小三角形重复进行上述操作.设nA是第n次挖去的小三角形面积之和（如1A是第1次挖去的中间小三角形面积，2A是第2次挖去的三个小三角形面积之和），nS是前n次挖去的所有三角形的面积之和，则nnSlim（）)(A43)(B33)(C23)(D2116.已知ABC的内角CBA,,的对边分别为,,abc,且87cosA.I为ABC内部的一点，且0aIAbIBcIC，若AIxAByAC，则yx的最大值为())(A45)(B21)(C65)(D54三、解答题17.已知函数()(1tan)sin2fxxx．（1）求()fx的定义域；（2）求函数()2Fxfx在区间(0,π)内的零点．积极拼搏锐意进取，全心全意以学生学习为中心选择菁英高中，成就名校梦想精益求精，不断超越，成就学生，成就梦想3/718.上海地铁四通八达，给市民出行带来便利.已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足：220t，tN.经测算，地铁载客量)(tp与发车时间间隔t满足：212001010,210()1200,1020ttptt，，其中tN.（1）请你说明5p的实际意义；（2）若该线路每分钟的净收益为6()3360360ptQt（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益.19.我国古代数学名著《九章算术》中记载了有关特殊几何体的定义：阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；堑堵指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的的三棱柱.（1）某堑堵的三视图，如图1，网格中的每个小正方形的边长为1，求该堑堵的体积；（2）在堑堵111CBAABC中，如图2，BCAC，若21ABAA，当阳马CCAAB11的体积最大时，求二面角11CBAC的大小.图1图2积极拼搏锐意进取，全心全意以学生学习为中心选择菁英高中，成就名校梦想精益求精，不断超越，成就学生，成就梦想4/720.已知椭圆134:22yx的左右两焦点分别为12,FF.（1）若矩形ABCD的边AB在y轴上，点,CD均在上，求该矩形绕y轴旋转一周所得圆柱侧面积S的取值范围；（2）设斜率为k的直线l与交于,PQ，线段PQ的中点为(1,)(0)Mmm，求证：12k；（3）过上一动点00,Exy作直线134:00yyxxl，其中00y，过E作直线l的垂线交x轴于点R.问是否存在实数，使得1221EFRFEFRF恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.积极拼搏锐意进取，全心全意以学生学习为中心选择菁英高中，成就名校梦想精益求精，不断超越，成就学生，成就梦想5/721.已知数列}{na满足：21111,8nnaaam，其中RNmn,*.（1）若21,,ama成等差数列，求m的值；（2）若0m，求数列}{na的通项na；（3）若对任意正整数n，都有4na，求m的最大值.积极拼搏锐意进取，全心全意以学生学习为中心选择菁英高中，成就名校梦想精益求精，不断超越，成就学生，成就梦想6/7答案与解析1.2.4521313.34.45.56.27.]22,221[8.329.110.|1|22a11.5412.155；情况1：62a，124a，共3456CC种（前5步中3步+1，后6步中4步+1）；情况2：62a，124a，共1656CC种。13.C14.A15.A16.D；0aIAbIBcIC说明I是三角形的内心，延长AI交BC于H；AHkAIkxABkyACuuuruuruuuruuur，1kxy，即求k的最小值，因AI固定，即AH最小；因此H即为内切圆与边BC的切点，1sin24ArAHAIAIAI，54k。17.（1）},2|{Zkkxx（2）()fx)42sin(21x，令2)(xf，4x或2（舍）18.（1）95025101200)5(p，当地铁的发车时间隔为5分钟时，地铁载客量为950；（2）当102t时，840)36(603603360)10(6072002ttttQ120，当6t；当2010t时，3603840360336012006ttQ24360103840-，当10t；故当发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大净收益为120元.19.（1）221221；（2）12132221111AABCACVVVABCACAABCCAAB3431)(31222ABBCAC等号成立的充要条件是2BCAC；建系得所求为31arccos。20.（1）不妨假设C在第一象限，令)20)(sin3,cos2(C，则)2sin(34sin32cos22S，由)0(2，，得]34,0(S；（2）解法一：直线l的方程为)1(xkmy，代入0124322yx，012)(4)(8)34(222kmxkmkxk，2248[4()3]0kmk，积极拼搏锐意进取，全心全意以学生学习为中心选择菁英高中，成就名校梦想精益求精，不断超越，成就学生，成就梦想7/7即03)(422kmk，又M为中点，故134)(42kkmk，得km43，0k，代入03)(422kmk得，0)34)(12)(12(2kkk，而0)34)(12(2kk，故012k，即21k。解法二：设1122,,,PxyQxy，222211221,14343xyxy，两式相减121234xxkyy；121,2xx12,2yym34km，1,Mm在椭圆内部，则221143m，得12k。（3）当00x时，1221EFRFEFRF，所以，存在实数满足条件，则1；直线ER的方程为0)(4)(30000yyxxxy，则)0,4(0xR，202020202020212222212)411()411()1()1(||||||||xxyxyxRFEFRFEF2220002220003(1)3(4)413(4)(1)34xxxxxx，所以1。21.（1）ma812，由212aam得，mm8112，所以89m；（2）2181nnaa，显然，0na恒成立，所以，nnnaaa22212log381loglog，即)log3(2log3212nnaa，1121223)log3(2log3nnnaa，12332nna；（3）2)2()4(8181221mmamaaaannnnn故)2)(1()()()(1112211mnaaaaaaaaannnnn，当2m时，令4)2)(1(1mna，即1241man，则4)2)(1(1mnaan，与已知矛盾；所以，2m。(另解：当2m时，注意到n时,(2)(1)mn因此,存在充分大的n，使得1(2)(1)4mn，即4na，与已知矛盾）若2m，则28121nnaa，下用数学归纳法证明40na。1n时，显然成立，假设40ka，则42481281221kkaa，而01ka显然成立。故对所有正整数n，都有4na。所以，m的最大值为2.