2013-2014学年高中数学 第二章 2.3 等差数列的前n项和(一)课件 新人教A版必修5

【学习目标】1．理解等差数列前n项和公式的推导过程．2．熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个．3．掌握等差数列前n项和公式及性质的应用．【学法指导】1．运用等差数列的前n项和公式的关键在于准确把握它们的结构特征，这样才能根据具体情境(已知条件和待求目标)选用恰当的公式解决问题．2．要善于从推导等差数列的前n项和公式中，归纳总结出一般的求和方法——倒序相加法．1．把a1＋a2＋…＋an叫数列{an}的前n项和，记做.例如a1＋a2＋…＋a16可以记做；a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝(n≥2)．2．若{an}是等差数列，则Sn可以用首项a1和末项an表示为Sn＝；若首项为a1，公差为d，则Sn可以表示为Sn＝.填一填·知识要点、记下疑难点SnS16Sn－1na1＋an2na1＋12n(n－1)d3．写出下列常见等差数列的前n项和(1)1＋2＋3＋…＋n＝．(2)1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝.(3)2＋4＋6＋…＋2n＝.4．等差数列{an}中(1)已知d＝2，n＝15，an＝－10，则Sn＝________；(2)已知a1＝20，an＝54，Sn＝999，则d＝________；(3)已知a1＝56，d＝－16，Sn＝－5，则n＝________.填一填·知识要点、记下疑难点12n(n＋1)n2n2＋n－360171315[问题情境]“数学王子”高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名．高斯十岁那年，老师布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到100的所有整数加起来，老师刚叙述完题目，高斯即刻把写着答案的小石板交了上去．老师起初并不在意这一举动，但当他发现全班唯一正确的答案属于高斯时，才大吃一惊．而更使人吃惊的是高斯的算法，他发现：第一个数加最后一个数的和是101，第二个数加倒数第二个数的和也是研一研·问题探究、课堂更高效101，…共有50对这样的数，用101乘以50得到5050，这种算法是教师未曾教过的方法，高斯自己就想出来了，那么这是一个什么样的方法呢？它用于解决什么类型的问题呢？这种方法叫倒序相加法，是等差数列求和的一种重要方法，这一节我们就来学习等差数列的求和方法．研一研·问题探究、课堂更高效探究点一等差数列前n项和公式的推导问题求和：1＋2＋3＋…＋100＝？对于这个问题，著名数学家高斯十岁时就能很快求出它的结果．当时他的思路和解答方法是：S＝1＋2＋3＋…＋99＋100，把加数倒序写一遍：S＝100＋99＋98＋…＋2＋1.所以有2S＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(99＋2)＋(100＋1)＝100×101，∴S＝50×101＝5050.请你利用“高斯的算法”求1＋2＋3＋…＋n＝？研一研·问题探究、课堂更高效解设Sn＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n，又Sn＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1，∴2Sn＝(1＋n)＋[2＋(n－1)]＋…＋[(n－1)＋2]＋(n＋1)，∴2Sn＝n(n＋1)，∴Sn＝nn＋12.探究设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，你能利用“倒序相加法”求等差数列{an}的前n项和Sn吗？研一研·问题探究、课堂更高效解Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(n－2)d]＋[a1＋(n－1)d]，Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a2＋a1＝an＋(an－d)＋(an－2d)＋…＋[an－(n－2)d]＋[an－(n－1)d]，∴2Sn＝(a1＋an)×n，由此可得等差数列{an}的前n项和公式：Sn＝na1＋an2.根据等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，代入上式可得Sn＝na1＋nn－12d.探究点二等差数列前n项和的性质探究1设{an}是等差数列，公差为d，Sn是前n项和，易知a1＋a2＋…＋am，am＋1＋am＋2＋…＋a2m，a2m＋1＋a2m＋2＋…＋a3m也成等差数列，公差为.上述性质可以用前n项和符号Sn表述为：若{an}成等差数列，则Sm，，_________也成等差数列．研一研·问题探究、课堂更高效m2dS2m－SmS3m－S2m探究2若数列{an}是公差为d的等差数列，求证：数列{Snn}也是等差数列．研一研·问题探究、课堂更高效证明∵{an}是等差数列，公差为d，∴Sn＝na1＋nn－12d＝d2n2＋(a1－d2)n，∴Snn＝d2n＋(a1－d2)，∴Sn＋1n＋1－Snn＝d2(常数)，∴数列{Snn}为等差数列，公差为d2.探究3设Sn、Tn分别为两个等差数列{an}和{bn}的前n项和，证明：anbn＝S2n－1T2n－1.研一研·问题探究、课堂更高效证明∵S2n－1＝12(2n－1)(a1＋a2n－1)＝2n－12·2an＝(2n－1)an；同理T2n－1＝(2n－1)bn；∴S2n－1T2n－1＝2n－1an2n－1bn＝anbn.即anbn＝S2n－1T2n－1.【典型例题】例1在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.研一研·问题探究、课堂更高效解由an＝a1＋n－1d，Sn＝na1＋nn－12d，得a1＋2n－1＝11，na1＋nn－12×2＝35，解方程组得n＝5a1＝3或n＝7，a1＝－1.小结在解决等差数列问题时，如已知a1，an，n，d，Sn中任意三个，可求其余两个，这种问题在数学上常称为“知三求二”型．跟踪训练1已知等差数列{an}中，(1)a1＝32，d＝－12，Sn＝－15，求n及an；(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1022，求d.研一研·问题探究、课堂更高效解(1)∵Sn＝n·32＋nn－12(－12)＝－15，整理得n2－7n－60＝0，解之得n＝12或n＝－5(舍去)，a12＝32＋(12－1)×(－12)＝－4.(2)由Sn＝na1＋an2＝n1－5122＝－1022，解之得n＝4.又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，解之得d＝－171.例2(1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知SnTn＝7n＋2n＋3，求a5b5的值．研一研·问题探究、课堂更高效解(1)方法一在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．∴30,70，S3m－100成等差数列．∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.方法二在等差数列中，Smm，S2m2m，S3m3m成等差数列，研一研·问题探究、课堂更高效∴2S2m2m＝Smm＋S3m3m.即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.(2)a5b5＝9a1＋a99b1＋b9＝S9T9＝6512.小结等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．跟踪训练2设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列Snn的前n项和，求Tn.研一研·问题探究、课堂更高效解设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋12n(n－1)d，∵S7＝7，S15＝75，∴7a1＋21d＝715a1＋105d＝75，即a1＋3d＝1a1＋7d＝5，解得a1＝－2d＝1，∴Snn＝a1＋12(n－1)d＝－2＋12(n－1)，∵Sn＋1n＋1－Snn＝12，∴数列Snn是等差数列，其首项为－2，公差为12，∴Tn＝n(－2)＋nn－12×12＝14n2－94n.例3甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续每分钟走5m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？研一研·问题探究、课堂更高效解(1)设n分钟后第1次相遇，依题意，研一研·问题探究、课堂更高效有2n＋nn－12＋5n＝70，整理得n2＋13n－140＝0.解之得n＝7，n＝－20(舍去)．第1次相遇是在开始运动后7分钟．(2)设n分钟后第2次相遇，依题意，有2n＋nn－12＋5n＝3×70，整理得n2＋13n－420＝0.解之得n＝15，n＝－28(舍去)．第2次相遇是在开始运动后15分钟．小结建立等差数列的模型时，注意相遇时甲、乙两人的路程和是两个等差数列的前n项和．跟踪训练3现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为()A．9B．10C．19D．29研一研·问题探究、课堂更高效解析钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12.当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210200.∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．B1．记等差数列前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于()A．2B．3C．6D．7练一练·当堂检测、目标达成落实处解析由S2＝2a1＋d＝4S4＝4a1＋6d＝20，解得d＝3.B2．已知等差数列{an}中，a2＋a8＝8，则该数列的前9项和S9等于()A．18B．27C．36D．45练一练·当堂检测、目标达成落实处解析S9＝92(a1＋a9)＝92(a2＋a8)＝36.C3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝84，S20＝460，则S6＝________.练一练·当堂检测、目标达成落实处解析∵{an}是等差数列，∴Sn＝na1＋nn－12d.由S12＝84，S20＝460，代入，得12a1＋12×112d＝84，20a1＋20×192d＝460.解得a1＝－15，d＝4.∴S6＝6a1＋6×52d＝6×(－15)＋6×52×4＝－30.-304．已知等差数列{an}的前3项依次为a,4,3a，前k项和Sk＝2550，求a及k.练一练·当堂检测、目标达成落实处解设等差数列{an}的公差为d，则由题意得a＋3a＝2×4d＝4－aka＋kk－12d＝2550，∴a＝2d＝2k＝50.(注：k＝－51舍)∴a＝2，k＝50.1．求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法．2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量．在求等差数列的和时，一般地，若已知首项a1及末项an，用公式Sn＝na1＋an2较好，若已知首项a1及公差d，用公式Sn＝na1＋nn－12d较好．3．等差数列的性质比较多，学习时，不必死记硬背，可以在结合推导过程中加强记忆，并在解题中熟练灵活地应用．练一练·当堂检测、目标达成落实处