曲线与方程练习题

课时作业(六)[学业水平层次]一、选择题1．曲线x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0与x轴的交点坐标是()A．(4,0)和(－1,0)B．(4,0)和(－2,0)C．(4,0)和(1,0)D．(4,0)和(2,0)【解析】在曲线x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0中，令y＝0，则x2－3x－4＝0，∴x＝－1或x＝4.∴交点坐标为(－1,0)和(4,0)．【答案】A2．(2014·临沂高二期末)方程(x2－4)(y2－4)＝0表示的图形是()A．两条直线B．四条直线C．两个点D．四个点【解析】由(x2－4)(y2－4)＝0得(x＋2)(x－2)(y＋2)·(y－2)＝0，所以x＋2＝0或x－2＝0或y＋2＝0或y－2＝0，表示四条直线．【答案】B3．(2014·广西省桂平中学月考)在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足OP→·OA→＝4，则点P的轨迹方程是()A．x＋y＝4B．2x＋y＝4C．x＋2y＝4D．x＋2y＝1【解析】本题主要考查求曲线的方程．由OP→＝(x，y)，OA→＝(1,2)得OP→·OA→＝(x，y)·(1,2)＝x＋2y＝4，则x＋2y＝4即为所求的轨迹方程，故选C.【答案】C4．(2014·广东省中山一中期中考试)方程(2x－y＋2)·x2＋y2－1＝0表示的曲线是()A．一个点与一条直线B．两个点C．两条射线或一个圆D．两个点或一条直线或一个圆【解析】本题主要考查曲线与方程的关系．原方程等价于x2＋y2－1＝0，即x2＋y2＝1，或2x－y＋2＝0，x2＋y2－1≥0，故选C.【答案】C二、填空题5．“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是“方程f(x，y)＝0是曲线C的方程”的________________条件．【解析】“方程f(x，y)＝0是曲线C的方程”⇒“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，反之不成立．【答案】必要不充分6．方程x－3·(x＋y＋1)＝0表示的几何图形是________．【解析】由方程得x＋y＋1＝0，x－3≥0或x－3＝0，即x＋y＋1＝0(x≥3)或x＝3.【答案】一条射线和一条直线7．(2014·广东省华南师大附中月考)已知定点F(1,0)，动点P在y轴上运动，点M在x轴上，且PM→·PF→＝0，延长MP到点N，使得|PM→|＝|PN→|，则点N的轨迹方程是_____________．【解析】本题综合考查向量的数量积与由曲线求方程．由于|PM→|＝|PN→|，则P为MN的中点．设N(x，y)，则M(－x,0)，P0，y2，由PM→·PF→＝0，得－x，－y2·1，－y2＝0，所以(－x)·1＋－y2·－y2＝0，则y2＝4x，即点N的轨迹方程是y2＝4x.【答案】y2＝4x三、解答题8．(2014·长沙高二检测)如图2­1­1，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得|PM|＝2|PN|，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．图2­1­1【解】以O1O2的中点为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，得O1(－2,0)，O2(2,0)．连结PO1，O1M，PO2，O2N.由已知|PM|＝2|PN|，得|PM|2＝2|PN|2，又在Rt△PO1M中，|PM|2＝|PO1|2－|MO1|2，在Rt△PO2N中，|PN|2＝|PO2|2－|NO2|2，即得|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)．设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，化简得(x－6)2＋y2＝33.因此所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.9．△ABC的三边长分别为|AC|＝3，|BC|＝4，|AB|＝5，点P是△ABC内切圆上一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最小值与最大值．【解】因为|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，所以∠ACB＝90°.以C为原点O，CB，CA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由于|AC|＝3，|BC|＝4，得C(0,0)，A(0,3)，B(4,0)．设△ABC内切圆的圆心为(r，r)，由△ABC的面积＝32×4＝32r＋2r＋52r，得r＝1，于是内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1⇒x2＋y2＝2x＋2y－1，由(x－1)2≤1⇒0≤x≤2.设P(x，y)，那么|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝x2＋(y－3)2＋(x－4)2＋y2＋x2＋y2＝3(x2＋y2)－8x－6y＋25＝3(2x＋2y－1)－8x－6y＋25＝22－2x，所以当x＝0时，|PA|2＋|PB|2＋|PC|2取最大值22，当x＝2时取最小值为18.[能力提升层次]1．到点A(0,0)，B(－3,4)的距离之和为5的轨迹方程是()A．y＝－43x(－3≤x≤0)B．y＝－43x(0≤x≤4)C．y＝－43x(－3≤x≤4)D．y＝－43x(0≤x≤5)【解析】本题主要考查曲线方程的概念．注意到|AB|＝5，则满足到点A(0,0)，B(－3,4)的距离之和为5的点必在线段AB上，因此，方程为y＝－43x(－3≤x≤0)，故选A.【答案】A2．(2014·河南省实验中学月考)已知动点P到定点(1,0)和定直线x＝3的距离之和为4，则点P的轨迹方程为()A．y2＝4xB．y2＝－12(x－4)C．y2＝4x(x≥3)或y2＝－12(x－4)(x3)D．y2＝4x(x≤3)或y2＝－12(x－4)(x3)【解析】设P(x，y)，由题意得x－12＋y2＋|x－3|＝4.若x≤3，则y2＝4x；若x3，则y2＝－12(x－4)，故选D.【答案】D3．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于________．【解析】设动点P(x，y)，依题意|PA|＝2|PB|，∴x＋22＋y2＝2x－12＋y2，化简得(x－2)2＋y2＝4，方程表示半径为2的圆，因此图形的面积S＝π·22＝4π.【答案】4π4．过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．【解】法一设点M的坐标为(x，y)，∵M为线段AB的中点，∴A点的坐标为(2x,0)，B点的坐标为(0,2y)．∵l1⊥l2，且l1、l2过点P(2,4)，∴PA⊥PB，即kPA·kPB＝－1，而kPA＝4－02－2x＝21－x(x≠1)，kPB＝4－2y2－0＝2－y1，∴21－x·2－y1＝－1(x≠1)，整理得x＋2y－5＝0(x≠1)．∵当x＝1时，A、B的坐标分别为(2,0)、(0,4)，∴线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程x＋2y－5＝0.综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.法二设点M的坐标为(x，y)，则A、B两点的坐标分别是(2x,0)、(0,2y)，连结PM.∵l1⊥l2，∴2|PM|＝|AB|.而|PM|＝x－22＋y－42，|AB|＝2x2＋2y2，∴2x－22＋y－42＝4x2＋4y2，化简得x＋2y－5＝0，即为所求的点M的轨迹方程．