第四章 截面图形的几何性质

第四章截面的几何性质4.1静矩和形心4.2惯性矩和惯性积4.3平行移轴公式4.4转轴公式4.5形心主惯性轴和形心主惯性矩1.静矩CxydAxCxyCyOAyAxxdASydAS第四章截面的几何性质/静矩和形心4.1静矩和形心2.形心AAxxAAyyACACdd3.形心与静矩的关系AxSAySASxASyCyCxyCxC或图形对某轴的静矩为零，则该轴一定过图形的形心；某轴过图形的形心，则图形对该轴的静矩为零。目录例4.2求图示半径为r的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐标yC。OCrxydAyCydy解：过圆心O作与x轴垂直的y轴，在距x任意高度y处取一个与x轴平行的窄条，ydyrAd222所以3022322ryd)yr(yAdySrAx3423223r/r/rASyxC4、组合截面的静矩和形心（1）组合截面的静矩CiiyiyCiixixxASSyASS（2）组合截面的形心iCiiiyCiCiiixCAxAASxAyAASy第四章截面的几何性质/静矩和形心目录解：将此图形分别为I、II、III三部分，以图形的铅垂对称轴为y轴，过II、III的形心且与y轴垂直的轴线取为x轴，则例4.1求图示图形的形心。x150yCOx1y120010yC300IIIIII10mm8.38)30010(2102000)30010(2)1505()10200(iiiAyAyCC由于对称知：xc=0第四章截面的几何性质/静矩和形心目录2.极惯性矩：1.惯性矩：AyAxdAxIdAyI22ApdAI2为图形对一点的极惯性矩；xydAxyO3.惯性积：为图形对x、y一对正交轴的惯性积；AxyxydAI分别为图形对x、y轴的惯性矩；4.2惯性矩和极惯性矩第四章截面的几何性质/惯性矩和极惯性矩目录②惯性矩、极惯性矩恒为正值，惯性积有正负，单位：m4、cm4、mm4；③若图形有一个对称轴，则图形对包含此对称轴的一对正交轴的惯性积为零；④惯性矩、惯性积和极惯性矩均为面积的二次矩⑤如将dA看成质量dm，则Ix、Iy、Ip分别为平面图形对x、y、原点的转动惯量。第四章截面的几何性质/惯性矩和极惯性矩4.①惯性矩与极惯性矩的关系：xyAApIIdA)yx(dAI222平面图形对过一点的任意一对正交轴的惯性矩之和为常数，等于图形对该点的极惯性矩。解：平行x轴取一窄长条，其面积为dA=bdy，则例4.3求图示矩形对通过其形心且与边平行的x、y轴的惯性矩Ix、Iy和惯性积Ixy。ydb/2b/2xyyh/2h/2CdA1232222bh)ydb(yAdyI/h/hAx123hbIy又因为x、y轴皆为对称轴，故Ixy=0。同理可得第四章截面的几何性质/惯性矩和极惯性矩AIixx惯性半径的概念在实际工程中，为方便起见，引入了惯性半径的概念，即AIiyy第四章截面的几何性质/惯性矩和极惯性矩目录一、平行移轴公式1.公式推导2.平行移轴公式abAIIAbIIAaIICCCCyxxyyyxx22②b和a是图形的形心C在Oxy坐标系中的坐标，所以它们是有正负的。3.注意：①xC、yC轴是形心轴，在所有的平行轴中，图形对形心轴的惯性矩最小；4.3平行移轴公式n1iin1iin1iixyxyyyxxIIIIII，，二、组合图形的惯性矩：第四章截面的几何性质/平行移轴公式目录例4.4求图示T型截面对形心轴的惯性矩。530530例4.5已知三角形对底边(x1轴)的惯性矩为bh3/12，求其对过顶点的与底边平行的x2轴的惯性矩。bx1hx2xCh/3解：由于x1、x2轴均非形心轴，所以不能直接使用平行移轴公式，需先求出三角形对形心轴xC的惯性矩，再求对x2轴的惯性矩，即进行两次平行移轴：423236362312323223232121bhbhhbhAaIIbhbhhbhAaIICCxxxx第四章截面的几何性质/平行移轴公式目录303055CC2C1y221y1zC1zC2求T形截面对形心轴的惯性矩先求形心的位置：取参考坐标系如图，则：iiiCCAyAyz0mmAAyAyA75.23212211即截面的形心轴。、CCzy再求截面对形心轴的惯性矩：433115601230512530mmICy422212122212134530])([])([)()(2121mmAyyIAyyIAaIAaIICzCzzzzCCCCC由平行移轴定理得：yCzyCzC目录惯性矩和惯性积的转轴公式1.公式推导：2.转轴公式：2222222221111cosIsinIIIsinIcosIIIIIsinIcosIIIIIxyyxyxxyyxyxyxyyxyxx3.注意：是x轴与x1轴的夹角，由x轴逆时针转到x1轴时的为正。4.4转轴公式第四章截面的几何性质/转轴公式目录y1=|AC|dAy1x1y1x1yxDEBACOxy已知：Ix、Iy、Ixy、，求、、。1xI1yI11yxIAxdAyI211AxdAxyI2)sincos(1=|AD||EB|=ycosxsin22sincossin2cosyxyxIIIAdAxxyy)sincossin2cos(2222利用三角变换，得到2sin2cos221xyyxyxxIIIIII同理，利用：x1=|OC|=|OE|+|BD|=xcos+ysin2cos2sin2sin2cos22111xyyxyxxyyxyxyIIIIaIIIIII得到目录③形心主惯性矩：图形对形心主轴的惯性矩；2.主轴方位：①利用主轴的定义—惯性积等于零进行求解；②主轴与x轴的夹角:yxxyIIItg220③由上式可求出相差90o的0，0+90o，分别对应于一对相垂直的主轴x0、y0；4.5主惯性轴、主惯性矩1.主轴的相关概念：①主轴(主惯性轴)：惯性积等于零的一对正交轴；②形心主轴：过图形形心的主轴，图形的对称轴就是形心主轴第四章截面的几何性质/主惯性轴、主惯性矩目录②与主轴方位的对应关系：求0时只取主值|20|≤/2)，若IxIy，则由x轴转过0到达x0轴时，有；若IxIy，则。注意，0为正值时应逆时针旋转。maxxII0minxII0③任何具有三个或三个以上对称轴的平面图形，所有形心轴都是主轴，如正三角形、正方形、正多边形。④求惯性矩的极值所在方位，得到与上式相同结果。所以：图形对过某点所有轴的惯性矩中的极大值和极小值，就是对过该点主轴的两个主惯性矩。3.主惯性矩大小：①22minmax22xyyxyxIIIIIII第四章截面的几何性质/主惯性轴、主惯性矩目录12010101070例4.6计算图示截面的形心主轴和形心主惯性矩IIIIIIICxyy0x00图形的对称中心C为形心，在C点建立坐标系xCy如图将整个图形分成I、II、III三个矩形，如图整个图形对x、y轴的惯性矩和惯性积分别为IIIxIIxIxxIIII2)1060()560(1210602346mm1008.512120103461084.1mmIIIIIIIyIIyIyy46IIIxyIIxyIxyxymm1031.2IIII426.1III22tgyxxy0'2827o0minymaxx0oyx0IIIIx'2827xII4/000，，转到主轴轴逆时针旋转自，，464622minmax1064.01028.622mmmmIIIIIIIxyyxyx形心主惯性矩大小第四章截面的几何性质/主惯性轴、主惯性矩目录例4.7求图示正方形对过形心的x1、y1轴的惯性矩和惯性积。xyaaCx1y1解：由于：0124xyyxIaII，，22221yxxyyxyxxIIsinIcosIIIII则同理，21yxyIII011yxI第四章截面的几何性质/主惯性轴、主惯性矩目录