第二节 数列极限的定义

第二节数列极限的定义一、概念的引入二、数列的定义三、数列的极限四、总结一、概念的引入一尺之椎，日取其半，永世不竭.,21,212,213,,21n“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”2、割圆术：播放——刘徽R正六边形的面积1A正十二边形的面积2A正形的面积126nnA,,,,,321nAAAAS二、数列的定义定义:按自然数,3,2,1编号依次排列的一列数,,,,21nxxx(1)称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的项,nx称为通项(一般项).数列(1)记为1)(nnx.注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取.,,,,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是整标函数).(nfxn,333,,33,3数列实质上是定义在正整数集上的函数：xn=f(n)，nZ+问题:当n无限增大时,xn的变化趋势如何？例如,,2,,8,4,2)in;2nnx1)2(nn,,21,,81,41,21ii)n;21nnx121nn,,)1(,,1,1,1iii)1n;)1(1nnx11)1(nn,,)1(,,34,21,2iv)1nnn11)1(nnnn;)1(1nnxnn三、数列的极限.))1(1(11时的变化趋势当观察数列nnnn播放把n无限增大这个重要的变化过程记为n。.1)1(1,1无限接近于时当nxnnn.021,无限接近于时当nnxn.2,无限增大时当nnxn.)1(,没有确定的变化趋势时当nnxn：的变化趋势分为三类时当nxn,.)1axn常数无限接近于某个确定的.,)2即趋向无穷大无限增大nx.)3没有确定的变化趋势nx.lim,)(,,,)(11axaxaxnxnnnnnnn并记为的极限是则称定数一个无限接近于时若当对数列,1)1(1lim1nnn,021limnn.)1(,2没有极限而数列nnnnxx问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.1nxnnn11)1(1,1001给定,10011n由,100时只要n,10011nx有,10001给定,1000时只要n,1000011nx有,100001给定,10000时只要n,100011nx有,0给定,1时只要Nn.1成立有nx注意：;.1的无限接近与刻划了不等式axaxnn..2有关与任意给定的正数N定义若存在常数a，使对任意的0，总存在自然数N0，当nN时，恒有|xna|，则称常数a是数列当n时的极限(limit)或者称数列收敛于a.1)(nnx1)(nnx)(,limnaxaxnnn或记为如果数列没有极限,就说数列是发散的.:定义N.,,0,0limaxNnNaxnnn恒有时使注意数列极限的定义未给出求极限的方法.x1x2x2Nx1Nx3x几何意义:2aaa.)(,),(,点落在其外个至多只有只有有限个内都落在开区间所有的点时当NaaxNnn推论.),(,),()(1aUxaUaaxnnn只有有限多项邻域的任一对收敛于数列例1.1)1(lim1nnnn证明证1nx1)1(1nnnn1,0任给,1nx要,1n只要,1n或所以,],1[N取,时则当Nn1)1(1nnn就有.1)1(lim1nnnn即例2.lim),(CxCCxnnn证明为常数设证CxnCC,成立,0任给所以,0,n对于一切自然数.limCxnn说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证明数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.,0例3.1,0limqqnn其中证明证,0任给,0nnqx,lnlnqn],lnln[qN取,时则当Nn,0nq就有.0limnnq,0q若;00limlimnnnq则,10q若,lnlnqn例4.lim,0lim,0axaxxnnnnn求证且设证,0任给.limaxnn故,limaxnn,nNnNxaa使得当时恒有axaxaxnnn从而有aaxnaa例5).0(1limaann求证证,0任给,11nnax,1na,)1ln(||lnaN取,时则当Nn,1na就有.1limnna,)1ln(||lnan,)1ln(||ln1an用定义证明xn=a，就是证明对0，N存在.nlim证明的过程就是寻找N的过程，证明的方法是从分析|xna|出发，找出n与()的关系：n()于是可取[()]为N。由于N不唯一，故可把|xna|适当放大，得到一个新的不等式，再找N。四、数列极限的性质1.有界性定义:对数列nx,若存在正数M,使得一切自然数n,恒有Mxn成立,则称数列nx有界,否则,称为无界.例如,;1nnxn数列.2nnx数列数轴上对应于有界数列的点nx都落在闭区间],[MM上.有界无界定理1收敛的数列必定有界.证,limaxnn设由定义,,1取,1,axNnNn时恒有使得当则.11axan即有},1,1,,,max{1aaxxMN记,,Mxnn皆有则对一切自然数.)(1有界故nnx注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.1(1).nnx数列是发散的.,)(,1但却发散是有界的事实上nnx2.唯一性定理2每个收敛的数列只有一个极限.证,lim,limbxaxnnnn又设由定义,使得.,,021NN;1axNnn时恒有当;2bxNnn时恒有当,,max21NNN取时有则当Nn)()(axbxbannaxbxnn.2.时才能成立上式仅当ba故收敛数列极限唯一.3.子列的收敛性定理3如果数列收敛，则它的任一个子数列也收敛，且极限相同..limlimlim4212axxaxnnnnnn－定理在数列中任意抽取无穷多项并保持这些项在原数列中的先后顺序，这样得到的数列称为原数列的子数列。1)(nnx1)(knkx四.小结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想,精确定义,几何意义;思考题指出下列证明1limnnn中的错误。证明要使,1nn只要使)1ln(ln1nn从而由2ln)1ln(ln)1ln(1nn得,0取1)1ln(2lnN当时，必有成立Nn10nn1limnnn思考题解答1nn)1ln(ln1nn~（等价）证明中所采用的2ln)1ln(ln)1ln(1nn实际上就是不等式)1ln(ln2lnnnn即证明中没有采用“适当放大”的值nnln从而时，2ln)1ln(Nn仅有成立，)1ln(2lnn但不是的充分条件．)1ln(lnnn反而缩小为n2ln一、利用数列极限的定义证明:1、231213limnnn；2、19....999.0limn二、设数列nx有界，又0limnny，证明：0limnnnyx.练习题