第7章 生命曲线预测方法

Marketsurvey&Forecast市场调查与预测(7)生物的生长过程经历发生、发展到成熟三个阶段，在这三个阶段中生物生长速度是不一样的，例如,南瓜的增长速度，在第一阶段增长较慢，在成长时期则突然加快，而到了成熟期又趋减慢，形成一条S形曲线，这就是有名的生长曲线（增长曲线）。生命曲线也可以是描述经济指标随时间变化呈某种生物变化规律的一种曲线。第七章生命曲线预测方法在市场预测中，经常会碰到预测对象在其发展过程中呈现出与生物类似的发展过程。即在成长期快速增长、成熟（饱和期增长放慢）、衰退等各种不同形态。例如新技术、新产品的开发和更新换代过程，需求增长规律等均可用生命曲线来描述。这种方法是根据时间序列变化的历史数据，运用三和法、三点法。一、例子1、人类成长的生命曲线年龄36912151821242730身高4876112140168172176178180181例1人类身高的成长曲线的生长规律如表7-1所示单位：cm年龄身高图7-1人身高成长曲线第一节生命曲线的概念与一般模型例2如表7-2是南瓜重量随时间变化的生长曲线。天2468101214161820222426克1202004001000260033003800430049005100530054005450图7-2南瓜重量生长曲线天重量2、生物生长的生命曲线例3典型产品生命周期曲线导入期成长期成熟期衰推期t销量11)3(11tttttttttttyyyyyyyyyyy二阶差分三阶差分一阶差分环比指数注意：增长曲线模型在理论上的变化规律都遵循着一阶差分、二阶差分、三阶差分、一阶差分环比指数为一常数的特征。一阶差分补充知识：n阶差分二、成长曲线预测模型的基本类型（一）多项式增长曲线模型P225（二）简单指数型增长曲线模型简单指数型增长曲线模型为：其中：a,b—参数，t—时间序列,yt—经济目标值如图所示ttaby（1）a0b＞1a00＜b＜1图7-5简单指数型增长曲线图(0，a)t将（1）取对数，有：tybabtayttlglg,lglglglg（2）（3）由（3）可知：①其曲线方程为一条直线。②为一阶差分为一常数。即：bttyyttlg)1(lglg1结论:当时间序列yt的环比指数大体相等，或时间序列yt的对数一阶差分近似为一常数，可用简单指数曲线来拟合实际曲线。bbabbabyybababkabkyyytttttttttt)1()1()1()()(211111一阶差分环比为：其一阶差分为：结论∴当时间序列yt的环比指数大体相等或大体相等时，可用修正指数曲线来拟合实际曲线。1、其模型为：（5）ttabky（三）修正指数型增长曲线模型k＞0，a＜0，0＜b＜1y0=K+a图7-6修正曲线的几种类型tytkytytytyttt图(d)饱和后期图（a）饱和期图(b)成长期图（c）衰退期ky0k＞0，a＞1，b＞1k＞0，a＜0，b＞1k＞0，a＞0，0＜b＜1kyky0修正曲线模型的几种类型图其模型为：（1）tbtkay（3）（2）结论：龚柏兹曲线类似于修正曲线。常数)1(1)1()1(111111212111bbbbbbbbbbttbbttttaaakaakakakakakayykakayyyyttttttttabkyttlglglg1）可得：或由（ttbaky11lg则有：（四）龚柏兹曲线模型0＜a＜1，0＜b＜1y0=Ktytkytytytyttt图(d)衰退期图（a）成长期和成熟前期图(b)成长期后半期和衰退期图（c）成长期ky0＜a＜1，b＞1a＞1，b＞1a＞1，0＜b＜1kykyy0=K龚柏兹曲线的几种类型图ttttabkyabky11式中：k,a,b为待定参数.由（9）可得一阶、二阶导数为(9)(10)kybaktyabkabkbabyabkbabyktttttttt21,lnlnln,0)()()(ln)(ln322可得曲线的一拐点为：取k＞0，a＞10＜b＜1tyt图7-12y0=1/(k+a)（五）罗吉斯曲线其曲线模型yt=0y∞=1/k罗吉斯曲线拐点左侧呈上凹趋势，过了该拐点后曲线转变为向下凹趋势。（1）当t=0时,有：yt=1/k+a，则yt=0和yt=1/k都是罗吉斯曲线的渐进线。（2）当t→∞时，yt→1/k当t→-∞时，yt→0罗吉斯曲线形状与龚柏兹曲线形状很相似，它所描述的经济变量的变化规律也是开始缓慢增长，而后逐渐加快，达到拐点后，增长率减缓，最后达到一临界值。第二节生命曲线模型的识别在前面，我们介绍了几种常用的生命曲线模型，但在实际的应用中，怎样根据时间序列变化，建立生命曲线模型？选择哪一种模型最合适？这就涉及到生命增长曲线模型的识别问题。下面，介绍几种识别的方法。一、模型识别在识别模型之前，我们应根据图形的几种特性，掌握要识别模型的大概全貌，然后，才能识别模型。因此要注意以下几个方面：（一）图形的单调性利用y'判断。（某区间内）（二）极值利用y'和y判断。（三）拐点利用y'和y判断。（四）对称性利用拐点左右两端及与对称中心的极限之差进行比较确定。（五）时间性二、预测模型的识别方法（一）目估法这种方法首先将图画出来，根据此图形，选择合适的模型。若构成指数形，可选择简单指数形或修正指数模型；若接近S形，可选择龚柏兹模型。特点：1、直观简便2、若数据不足，（不能画出完整的图形）对选择模型造成困难。（二）离差法iiiniiyyeeQˆ12其中：(i=1,2,…,n)（三）增长特征法这种方法就是以研究动态序列的增长变化特征与增长曲线的相应特征为基础的一种识别方法。其基本点就是选择增长曲线在理论上的变化规律与样本序列的实际的变化规律最接近的一种曲线作为选择的最优曲线。具体方法如下：1、计算时间序列的滑动平均值。其目的是要消除时间序列中的随机因素，计算公式为。其大小由实际经验确定，称为移动平均的跨越期1212ppyyptptiit（9）ty2、计算时间序列的平均增长量。其公式为：283223,3211222,22,1321123222112112tttttttttttttttppippiittyyyyyyupyyyyupyyupiyiu时时时当（10）（10）是平均增长计算公式，主要是因为对动态时间序列选配趋势直线时，是以时间原点作为中心进行计算的。直线方程是：y=a+btb是平均增长，其计算公式为：pptppttttyb23、计算时间序列的增长特征时间序列经过移动平均修匀后，的变化特征，可通过计算平均增长数及和来判断识别曲线的模型。如表7-7tyty)(tu)(ttyu)lg(lgtttyuu、的平均增长特征平均增长特征对时间变化的性质曲线模型①基本一样直线方程②线性变化二次曲线方程③线性变化三次曲线方程④基本一样指数曲线方程⑤线性变化双指数曲线方程⑥线性变化龚柏兹曲线方程⑦线性变化罗吉斯曲线方程表7-7增长特征法判别曲线模型tytutu2tuttyutulg)/lg(ttyu)/lg(2ttyu应用1某企业1993～2004年销售额如表7-8所示资料，试建立销售额的曲线模型。表7-81993～2004年销售额资料表年份199319941995199619971998199920002001200220032004销售额164193255279512606766838941105510881044思考：1、画出散点图，初步识别属于哪一类？2、为识别增长曲线属于哪一种类型，可采用增长特征法进行识别。在这里我们用以3年为一个跨越期，求出，然后再求出。3、分别计算出、、、与时间t的相关系数r,计算公式如下：tytuttyutulg)/lg(ttyu)()(2222ttttttynyynyytntyr具体计算结果如表5-9所示)/lg(t2tyu91520rtyu91620rtyutttt.)/lg(./的相关系数与的相关系数与其中：年份t19931164-----19942199204----19953255242.372.350.29910857-2.90919964279348.7111.70.3202.048-3.03719975512465.7139.70.3002.145-3.19119986606628.0135.50.2162.132-3.46419997766736.7110.20.1502.042-3.69120008838848.3104.00.1232.017-3.83920019941944.789.90.1151.954-3.91520021010551028.058.80.0571.769-4.25620031110887062.3----2004121044-----tytuttyutulg)/lg(2ttyuty表7-91993年～2004年销售额增长特征计算表由表7-9可知，的值基本保持不变。根据表7-7应选取双曲指数曲线模型。)/lg(2ttyu在前面，介绍了对实际问题的模型识别，进行完了这一步工作后，还要确定预测方程里的参数（待定系数）后，才完成了建立预测模型。确定参数，以预测模型与实际模型之间的偏差为最小原则。通常是最小二乘法。由于非线性问题用最小二乘法，使得计算非常复杂，于是用三和法、三点法和优选法，下面分别介绍如下：第三节生命曲线模型的参数估计一、最小二乘法(略)二、三和法这种方法是将整个增长的时间序列分为三个相等的时间周期，并对每一个时间周期的数据求和后，再估计参数。它适用于“S”形的模型。现以修正指数方程应用“三和法”确定参数为例：ttabky由修正指数方程，将时间序列分为三段，假定有3n段，每段为n。);,(),(),();,(),(),();,(),(),(1313121222121211111100ntnntnntnntntnntnntnnttytytytytytytytytyt，，，，，，，，，则第一段各期的观察值求和为：)()()(1b1banky1b1bbbbbbbankabkynItn1n101n101n0ttt(1)第一段为：第二段为：第三段为：)()(1b1babnky1b1babnkynn2IIItnnIIt阶段的观察值分别为：同理：第二阶段、第三(2)(3)将（2）-（1）和（3）-（2）得：1)1(1)1(22bbabyybbayynnIItIIItntIIt（4）（5）（5）/（4）有：ItIItIIIIIttnyyyyb（6）]2)([1108)7()11(11)1(1)(422IItIItItIIIIIItttnItnItIItnItIItIIIIIttyyyyyynkbbynkbbyyayyyyb）得：）代入（、（将）得：由（）得：由（则有：（7）（8）（9）（10）分析误差的大小对参数的影响假设k=120，a=-60，b=0.5各期的时间序列数据按yt=120-60*0.5t的规律形成，当t=0，1，2，……，11的各时期yt，用三和法时，误差的大小对a，b，k的影响。见表7-10表7-10随机误差εt对模型参数的影响计算表t060+2.462.4190+4.894.82105-6.099.03112.5+6.0118.5367.5374.74116.25-1.2115.055118.12+3.6121