一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 初三数学主讲教师：李绿江

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系初三数学主讲教师:李绿江A．由解方程引入:解方程:①x2x10b24ac145②x24x40b24ac16160③2x23x40b24ac9320此方程无实数根,可见,由b24ac的值,可以判断方程根的情况.251x22421xxB．新课:一、判别式1.方程ax2bxc0(a0)根的判别式是:b24ac.（1）b24ac0方程有两个不相等的实数根（2）b24ac0方程有两个相等的实数根（3）b24ac0方程没有实数根.abxx221abx22、判别式的应用（1）直接判断一元二次方程根的情况;（2）由题目给出的一元二次方程根的情况,求出a、b、c中待定系数的值或取值范围.例1不解方程,判断下列方程根的情况.（1）2x23x10（2）（3）5x27x50（4）kx2(2k1)xk10(k0)22220xx（1）2x23x10（2）（3）5x27x50（4）kx2(2k1)xk10(k0)解（1）(3)2421980∴方程（1）有两个不等的实根.（2）∴方程（2）有两个相等的实数根.（3）(7)2455491000∴方程（3）无实数根.（4）(2k1)24k(1k)4k24k14k4k28k210（无论k为何值均有8k210）∴方程（4）有两个不等实根.08824)22(222220xx今后遇到二次方程马上先由判断一下根的情况这是解题的良好习惯.例2关于x的方程(m2)x22(m1)xm10在下列条件下,分别求m的非负整数值.（1）方程只有一个实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程有两个不相等的实数根.解:（1）当m20即m2时方程为一元一次方程2x30,即m2时,已知方程只有一个实数根.32x（2）当方程有两个相等的实根时,必须且只需解出∴m3时,方程有两个相等的实数根.（3）当方程有两个不相等实数根时,必须且只需解出又m是非负整数∴m0或m1小结:使用时必须在a0的前题下.124002mm32mm002m32mm例3.m取什么值时,关于x的方程2x2(m2)x2m20有两个相等的实数根？并求出这时方程的根.解:∵方程有两个相等的实数根,∴(m2)28(2m2)m212m20(m2)(m10)0∴m12m210当m12时当m210时∴所求m2或m10,方程的根为1或3.14221mxx34221mxx例4求证:无论a为任何实数,关于x的方程x2(2a1)xa30总有两个不相等的实数根.证:(2a1)24(a3)4a28a134(a1)29即0无论a为任何实数(a1)20∴4(a1)290∴无论a为任何实数,方程x2(2a1)xa30总有两个不等实根.由例4可知:要说明0常将它配成完全平方式正数.观察下表.方程x1x2x1x2x1x2x22x00220x23x404134x25x602356Ⅰ观察两根之和,两根之积与a、b、c的关系;Ⅱ两根之和一次项系数的相反数;两根之积常数项.Ⅲ推广方程ax2bxc0(a0b24ac0)变形为由求根公式与上述观察结果对比,可得到根系关系.aacbbx242102acxabxaacbbx2422acaacbbaacbbxx24242221abaacbbaacbbxx24242221二、根系关系1、关于x的方程ax2bxc0(a0,b24ac0)的两根x1、x2与系数a、b、c的关系是:注:应用根系关系的前题是a0且02、根系关系的应用:（1）已知方程的一根,求另一根及字母系数的值.（2）已知两根之间的关系,确定方程中字母系数的值.12bxxa12cxxa例5已知方程的一个根是1,求k及另一根解法一:设方程的另一根为x1∴所求,022kxx111121221xkxxk12k21x解法二∵1是方程的根∴∴方程为x21∴所求另一根为引申:若x21则对应的方程是什么？即以,1为根的方程为021120()k()12k02)12(2xx0)1)(2(xx21x12k221x22)12(2xx例6方程x2(m1)x2m10求m满足什么条件时,方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？方程的一根为零？解:(m1)24(2m1)m26m5①∵两根互为相反数∴两根之和m10,m1,且0∴m1时,方程的两根互为相反数.②∵两根互为倒数m26m5,∴两根之积2m11m1且0,∴m1时,方程的两根互为倒数.③∵方程一根为0,∴两根之积2m10且0,∴时,方程有一根为零.21m21m引申:1、若ax2bxc0(a00)（1）若两根互为相反数,则b0;（2）若两根互为倒数,则ac;（3）若一根为0,则c0;（4）若一根为1,则abc0;（5）若一根为1,则abc0;（6）若a、c异号,方程一定有两个实数根.引申2若a、b是方程x22x70的两个实数根,求:①a2b2②a23b24b③a35b2b76的值.解:由根系关系ab2,ab7,a272ab272b,①a2b2(ab)22ab41418.②a23b24b(72a)3(72b)4b2(ab)282(2)2832.③a35b2b76aa25b2b76a(72a)5(72b)b767a2a23511b767a2(72a)3511b7611(ab)497611(2)49765.