一元二次方程的判别式

•定义：我们把b²-4ac叫做一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用“∆”表示，即∆=b²-4ac.一般地，一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)当∆0时，有两个不相等的实数根；当∆=0时，有两个相等的实数根；当∆0时，没有实数根.反之也成立.用配方法解一般形式的一元二次方程20axbxc把方程两边都除以20bcxxaa解:a移项，得2bcxxaa配方，得22222bbcbxxaaaa即222424bbacxaa此类方程一定有实数根么？必须符合什么条件？(a≠0)22424bbacxaa242bbacxa2422bbacxaa即一元二次方程的求根公式(a≠0,b2-4ac≥0)当b2-4ac≥0时，当b2-4ac＜0时，方程ax2+bx+c=0无实数根。例1关于x的方程2kx²+（8k+1）x=-8k有两个不相等的实数根，则k的取值范围？1、运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数的值或参数的取值范围；例2已知关于x的一元二次方程x²+2（a+2b+3）x+（a²+4b²+99）=0无相异两实根，则满足条件的有序正整数组（a，b）有多少组？例3已知A、B、C是不全相等且都不为零的实数，求证：Ax²+2Bx+C=0Bx²+2Cx+A=0Cx²+2Ax+B=0这三个一元二次方程中，至少有一个方程有两个不相等的实数根。例4设2个方程x²+4mx+4m²+2m+3=0，x²+（2m+1）x+m²=0中至少有一个方程有实根，则m的取值范围是（）A.＜m＜B.m≤或m≥C.m≤或m≥D.≤m≤1212232323414141例5设三个方程x²+4mx+4m²+2m+3=0，x²+（2m+1）x+m²=0，(m-1)x²+2mx+m-1=0中至少有一个方程有实根，则m的取值范围是（）A.-＜m＜-B.m≤-或m≥-C.m≤-或m≥D.-≤m≤323232323214321432121214例6关于x的方程x³-ax²-2ax+a²-1=0只有一个实数根，则a的取值范围？例把三个连续的正整数a，b，c按任意次序（次序不同视为不同组）填入□x2+□x+□=0的三个方框中，作为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，使所得方程至少有一个整数根的a，b，c（）(A)不存在(B)有一组(C)有两组(D)多于两组2、运用判别式，判定方程实数根的个数、根的特性；例1x,y为实数，且满足y=,求y的最大值和最小值。2xX²+x+1的最小值。求满足、、若实数例124ab,14b222babaa3、借助判别式，运用一元二次方程必有解的代数模型，求最值、解方程、解几何题；例3求方程（x-3）²+（y-3）²=6的所有实数对（x,y）中，的最大值是多少？yx例4满足x²+xy+y²-3x-3y+3=0的实数解？例已知(x-z)²-4(x-y)(y-z)=0，求证：2y=x+z4、借助判别式，证明与方程有关的代数问题；例1设方程│x²+ax│=4只有三个不相等的实数根，求a的值和相应的三个根。5、借助判别式，解绝对值方程中参数值；例2若方程│x²-5x│=a有且只有相异二实根，求a的取值范围例10已知关于x的方程x²-（k+2）x+2k=0（1）求证：无论x取任何实数值方程总有实数根;（2）若等腰三角形ABC的一边长a=1,另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长。例2若t是一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根，则判别式△=b²-4ac和完全平方式M=（2at+b）²的关系是（）。A.△=MB.△＞MC.△＜MD.大小关系不能确定脑子里是高强度的拼搏，教师的气氛确实井然有序的安静，静谧的氛围保障了深入的思考，而在达到胶着的构思形成中，情绪必是凝重的。----数学教育家孙维刚教授的理想课堂