一元二次方程的根的分布

复习回顾方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)有零点．函数y=f(x)的图像与x轴有交点零点：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.剖析概念,你能得出什么结论吗？结论：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根。求函数零点个数方法：（1）方程f(x)=0的根个数（2）函数图像与x轴交点的个数（3）转化为两个函数图像的交点的个数想一想,怎样确定函数零点个数呢？如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.连续函数在某个区间上存在零点的判别方法：思考:若函数y=f(x)在区间[a,b]上有零点，是否一定有f(a)·f(b)0？下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的条件及其运用一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。但解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。一元二次方程根的分布强调：为简化情况，我们在此只研究a0的一元二次方程，当二次项系数小于0时，先化为正。即把一元二次方程化为标准形式：ax2+bx+c=0(a0)所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。同理，一元二次方程根的K分布，是指两根相对于K的分布。一元二次方程根的基本分布——零分布和K分布1：零分布•（1）有两正根•（2）有两负根•（3）一正一负2：k分布•（1）有两个大于k的根•（2）有两个小于k的根•（3）一个大于k，一个小于k•（4）有一个根在区间(k1,k2)内•（5）区间(k1,k2)内有两个根3：数形结合思想一元二次方程根的分布210(0).axbxca结论一元二次方程有两个正根000421212acxxabxxacbxy02ab1x2x0aO0c024002(0)0bacbafc0021xx情形一、方程ax2+bx+c=0（a0）根的零分布例1：x2+（m-3)x+m=0有两正根，求m的范围。21212(3)40300mmxxmxxm01mm220(0).axbxca结论一元二次方程有两个负根000421212acxxabxxacb240(0)002bacfcbaxy1x2x0aO0c002ab0021xx例2：x2+（m-3)x+m=0有两个负根求m的范。21212(3)40300mmxxmxxm9mm230(0).axbxca结论一元二次方程〉有两异号根0040021221acxxacbxx0(0)0afcxy1x2x0aO0c0例3：x2+（m-3)x+m=0有一个正根，一个负根且正根绝对值较大，求m的范围。xy1x2x0aO02abxy1x2x0aO02ab240(0).axbxca结论一元二次方程〉有一根为零一根非零0,021xx0,021xx210(0).axbxcak结论一元二次方程〉有两个大于的根0))((00421212kxkxkxkxacb0)(2042kfkabacbxyk2ab1x2x0aO0kkxkx21xyK2ab1x2x0aO0k情形二、方程ax2+bx+c=0（a0）根的K分布例1：x2+（m-3)x+m=0求m的范围。的两个根都大于212(3)4031222165()024mmbmamf516mm220(0).axbxcak结论一元二次方程〉有两个小于的根0))((0)()(042121221kxkxkxkxacbkxkx0)(2042kfkabacbxy02ab1x2x0aO0k例2：x2+（m-3)x+m=0求m的范围的两个根都小于12(3)403122(1)220mmbmafm9mm0)(kfxy1x2x0aOk21230(0),.axbxcaxkx结论一元二次方程〉有两个根且0()0afk()0fk例3：x2+（m-3)x+m=0求m的范围且一个根大于1，另一个根小于1f(1)=2m-201mmxy1x2x0aO1k2k0)(1kf0)(2kf212111240(0)(,).axbxcakkxkxk结论一元二次方程在区间内有且只有一根即0)()(21kfkf例4：x2+（m-3)x+m=0求m的范围两个根有且仅有一个在（0，2）内f(0)f(2)=m(3m-2)0203mm当m=0时，二根分别为0与3，不合题意；当m=时，二根分别为2与，符合题意；2323m的范围为203mmxy1x2x0aO1k2k0)(1kf0)(2kfabx22211kxxk2121220)(0)(004kabkkfkfaacb结论5、一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根满足例5：x2+（m-3)x+m=0求m的范围两个根都在（0，2）内2(3)403022(0)0(2)320mmmfmfm132mm结论6、一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根满足x1k1k2x2yxk2ok10)(0)(21kfkf例6：x2+（m-3)x+m=0求m的范围一个根小于2，一个根大于4(2)320(4)540fmfm54mm例7：x2+（m-3)x+m=0求m的范围一个根在（-2，0）内，另一个根在（0，4）内(2)100(0)0(4)540fmfmfm054mm例8：x2+（m-3)x+m=0求m的范围一个根在（-2，0）内，另一个根在（1，3）内(2)100(0)0(1)220(3)40fmfmfmfmm一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的分布两个正根两个负根一正根一负根一根为零一正一负，且负的绝对值大0acxx0abxx021210acxx0abxx021210acxx0210acxx0abxx02121C＝0课堂小结一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的分布0)(20kfkab0)(20kfkab两个根都小于k两个根都大于k一个根小于k,一个根大于kyxkoyxkoyxkof(k)0两个根都在（k1,k2)内两个根有且仅有一个在（k1,k2)内x1k1k2x20)(0)(202121kfkfkabk0)(0)(21kfkfyxk2ok1yxk2ok1yxk2ok11212122112()()0()0()0,2()0()0,2fkfkfkbfkkkafkbfkkka或或一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的分布数形结合解决二次方程根的分布问题需考虑的条件:(1)相应函数值的正负;(2)判别式△;(3)对称轴1、若一元二次方程kx2+(2k-1)x+k-3=0有一根为零，则另一根是正根还是负根？2、当k为何值时，关于x的方程x2+(k-1)x+k+2=0的两根都在区间(0,3)内？②一个根在区间(0,1)内，另一个根在区间(1,2)内；③有一个根大于1，另一个根小于1；④两个根都大于2.练习：.)40(142)3(2.32的取值范围求两侧的轴的两个交点分别位于的图象与已知二次函数k，，xkxkxy。k，kkxx的范围求一个正根和一个负根有已知方程022)1(4:.4