一元二次方程的解法及中考例题

1.只含有一个未知数，且未知数的次数是的二次的整式方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式.ax2+bx+c=0(a≠0).考点整合一元二次方程的解法及中考例题·北师大版23(1)10________.xmxxm、已知关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是145mm且4、已知二次函数的图象和x轴有交点，则的取值范围是_____________277yaxxa.__05)1(.1122axxaxaa一元二次方程，则是的方程已知关于.___04.22aaxxx么两个相等的实数根，那有的方程如果关于(1)配方法①通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法②用配方解方程的一般步骤:1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数);3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;4.变形:方程左分解因式,右边合并同类;5.开方:方程左分解因式,右边合并同类;6.求解:解一元一次方程;7.定解:写出原方程的解.2.移项:把常数项移到方程的左边;3.一元二次方程的解法：(1)配方法；(2)公式法；(3)分解因式法.(2)公式法:1.一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0):,042它的根是时当acb.04.2422acbaacbbx2.用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.3.用公式法解题的一般步骤:①变形:化已知方程为一般形式;③计算:b2-4ac的值;④代入:把有关数值代入公式计算;⑤定根:写出原方程的根.②确定系数:用a,b,c写出各项系数;(3)分解因式法:1.当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法你为分解因式法.2.分解因式法解一元二次方程的一般步骤是:(2).将方程左边因式分解;(3).根据“两个因式的积等于零,至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程.(4).分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.(1).化方程为一般形式;·北师大版2222)25(96.3312.2014.1xxxxxxx解方程：用配方法解方程：解方程：.)3()2()1(032)1(.42的取值范围有两个实数根，求的取值范围；只有一个实数根，求的取值范围；有实数根，求的方程已知关于mmmmmxxmx方程的属性不确定方程的属性确定方程的属性确定(七)、一元二次方程根的判别式我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用..2422,1aacbbx有两个不相等的实数根方程时当00,0422acbxaxacb:00,0422有两个相等的实数根方程时当acbxaxacb.22,1abx没有实数根方程时当00,0422acbxaxacb.4..004222acbacbxaxacb即来表示用根的判别式的叫做方程我们把代数式•一元二次方程的两个根与它的系数有如下关系：•两根之和等于一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.•一般地,若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是:,2421aacbbx,2421aacbbx22122244224422;2bbacbbacxxaabbacbbacabbaa;444)4(22)4()4(24242222222221acaacaacbbaaacbbacbbaacbbaacbbxx..;2121定理这一结论通常称为韦达即acxxabxx(八)、根与系数的关系——韦达定理要点、考点聚焦1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况：(1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；(2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；(3)当Δ＜0时，方程无实数根.2.根据根的情况，也可以逆推出Δ的情况，这方面的知识主要用来求取值范围等问题.例1：不解方程，判别下列方程的根的情况（1）04322xx（3）07152xx（2）yy2491620414243422acb解：（1）=判别式的应用:所以，原方程有两个不相等的实根。说明：解这类题目时，一般要先把方程化为一般形式，求出△，然后对△进行计算，使△的符号明朗化，进而说明△的符号情况，得出结论。1、不解方程，判别方程的根的情况课前热身1.(2008年·西宁市)若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根，则m的取值范围是()A.m＜1B.m＜1且m≠0C.m≤1D.m≤1且m≠0D2.(2008年·昆明)已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有实数根，则k的取值范围是()A.k≤1B.k≥1C.k1D.k1A3.(2008年·桂林市)如果方程组只有一个实数解，那么m的值为()A.-3/8B.3/8C.-1D.-3/4Ax3ym2xy24.(2008年·南通市)若关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0有两个相等的实数根，则k=.25.(2008年·上海市)关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根。解：Δ=[-(3m-1)]2-4m(2m-1)=9m2-6m+1-8m2+4m=m2-2m+1=(m-1)2∴(m-1)2=1,即m1＝2，m2＝0(二次项系数不为0，舍去)。当m=2时，原方程变为2x2-5x+3＝0，x＝3/2或x=1.典型例题解析【例1】已知关于x的方程(m-2)x2-2(m-1)x+m+1=0，当m为何非负整数时：(1)方程只有一个实数根；(2)方程有两个相等的实数根；(3)方程有两个不等的实数根.当m-2=0即m=2时x=3/2,成立m=3m=0，1【例2】已知关于x的方程x2+2(a-3)x+a2-7a-b+12=0有两个相等的实根，且满足2a-b=0.(1)求a、b的值；(2)已知k为一实数，求证：关于x的方程(-a+b)x2+bkx+2k-(a+b)=0有两个不等的实根.a=1,b=2将a=1,b=2代入方程得x2+2kx+2k-3=0.又∵Δ′=4k2-4(2k-3)=4(k-1)2+8＞0∴方程有两个不等的实根.【例3】(2008年·黑龙江)关于x的方程kx2+(k+1)x+k/4=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.k＞-1/2，且k≠0.不存在，理由略。【例4】已知：a、b、c是△ABC的三边，若方程有两个等根，试判断△ABC的形状.a2)cb(2xcb2ax222解：利用Δ＝0，得出a=b=c.∴△ABC为等边三角形.典型例题解析【例5】已知：m、n为整数，关于x的二次方程x2+(7-m)x+3+n=0有两个不相等的实数解，x2+(4+m)x+n+6=0有两个相等的实数根，x2-(m-4)x+n+1=0没有实数根，求m、n的值.典型例题解析解：∵方程x2+(4+m)x2+n+6=0有两个相等的实根，∴(4+m)2-4(n+6)=0，即m2+8m-8=4n.又方程x2+(7-m)x+3+n=0有两个不等的实根，方程x2-(m-4)x+n+1=0无实根，∴(7-m)2-4(3+n)＞0，(m-4)2-4(n+1)＜0.把4n=m2+8m-8代入上两式得∵m为整数∴m=2，从而n=3.2245m16201.求判别式时，应该先将方程化为一般形式.2.应用判别式解决有关问题时，前提条件为“方程是一元二次方程”，即二次项系数不为0.课时训练1.(2008年·大连)一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况是()A.有一个实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.没有实数根D2.(2008年·安徽)方程x2-3x+1=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.只有一个实数根A3.(2008年·长沙)下列一元一次方程中，有实数根的是()A.x2-x+1=0B.x2-2x+3=0C.x2+x-1=0D.x2+4=0C4.(2008年·湖北黄冈)关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列结论正确的是()A.当k=1/2时，方程两根互为相反数B.当k=0时，方程的根是x=-1C.当k=±1时，方程两根互为倒数D.当k≤1/4时，方程有实数根D5.若一元二次方程有两个相等的实数根，那么的值为()A.-4B.4C.1/4D.-1/4C课时训练0nxmx2mn.240)2(0)1(084)3(2.122的值两个整数根，求，且为整数，且方程有若等的实数根，求证方程有两个不相若的一元二次方程已知关于mmmmmxmxx能力提升)12(4m49121240mm.12410,20,1225124,10491212122121mmxxmmxxmmmm或综上所述此时时，当，此时时，当必为完全平方数，，为奇数，要使根为整数方程的属性确定.2)2()3(;2)()2()1()0(022)23(.221221212myxxxymyxxxxmmxmmxx满足什么条件时，的取值范围图象回答：当自变量的条件下，利用函数的在，求这个函数的解析式的函数，且是关于若，其中、别为设方程的两个实数根分的实数根求证方程有两个不相等的一元二次方程已知关于方程的属性确定2)2(mmmmx2)2()23(2mxx1,12121xx1211111424222aaaaaaa，求、已知.)12(01.3232的值，求已知xxxx.2)(,2,253322的值求其中、已知nmnmnmmnnmaaxxxxxxxxx，求若的两个根，是一元二次方程、、设24)35(03461222221221·北师大版·北师大版.________36320103002009.1题意可列方程为，由增长率为公顷，设绿化面积平均加到年底增年增加，到两年绿化，绿化面积逐公顷，经过年底已有绿化面积某城市x..81100.2分率相同，求两次降价的百已知两次降价的百分率元为元降降价，每瓶零售价由某药品经过两次连续的3.某厂生产一款工艺品.已知这款工艺品的生产成本为60元。经过市场调研发现：该款工艺品每天的销售量y(件)与售价x(元)之间存在着如下表所示的一次函数关系[利润=(售价-成本价)×销售量](1)求销售量y(件)与售价x(元)之间的函数关系(2)你认为如何定价才能使工艺品厂每天获得的利润为4000元?.24008.52求大矩形的周长的矩形，成面积为块相同的长方形地砖拼如图，cm4.体育课上，老师用绳子围城一个周长为30米的游戏场地，围城的场地是如图所示的矩形ABCD.设边AB的长为x(单位：平方米).(1)求S与x之间的函数关系式.(2)若矩形ABCD的面积为50平方米，且ABAD,求出此时AB的长.6.小明家在装修房子时使用同样规格的绿白两色的正方形瓷砖铺设矩形的露天平台，根据不同的地块设计了两种不同的方案，设计的图纸如示意图．如果有一块地方小明用其中一种方案铺设，共用了1056块瓷砖，问这块地方使用的是哪种设计方案，请你给出解答的过程．方案1方案2对方案的理解的化简对的估值，对能力点：422510564225105641010561056)1(2xxxxx块瓷砖用设铺矩形露天平台的宽