专题三角函数与向量(学生版)

-1-专题：三角函数与向量的交汇题型分析及解题策略主要考点如下：1．考查三角式化简、求值、证明及求角问题.2．考查三角函数的性质与图像，特别是y=Asin(x+)的性质和图像及其图像变换.3．考查平面向量的基本概念，向量的加减运算及几何意义，此类题一般难度不大，主要用以解决有关长度、夹角、垂直、平行问题等.4．考查向量的坐标表示，向量的线性运算，并能正确地进行运算.5．考查平面向量的数量积及运算律(包括坐标形式及非坐标形式)，两向量平行与垂直的充要条件等问题.6．考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题.题型一解斜三角形与向量的综合【例1】已知角A、B、C为△ABC的三个内角，其对边分别为a、b、c，若→m＝(－cosA2，sinA2)，→n＝(cosA2，sinA2)，a＝23，且→m·→n＝12．（Ⅰ）若△ABC的面积S＝3，求b＋c的值．（Ⅱ）求b＋c的取值范围．题型二三角函数与平面向量平行(共线)的综合【例2】已知A、B、C为三个锐角，且A＋B＋C＝π.若向量→p＝(2sinA－2，cosA＋sinA)与向量→q＝(cosA－sinA，1＋sinA)是共线向量.（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）求函数y＝2sin2B＋cosC－3B2的最大值.-2-题型三三角函数与平面向量垂直的综合【例3】已知向量→a＝(3sinα,cosα)，→b＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(32，2π)，且→a⊥→b．（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos(α2＋3)的值．题型四三角函数与平面向量的模的综合此类题型主要是利用向量模的性质|→a|2＝→a2，如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法：（1）先进行向量运算，再代入向量的坐标进行求解；（2）先将向量的坐标代入向量的坐标，再利用向量的坐标运算进行求解.【例4】已知向量→a＝(cosα,sinα)，→b＝(cosβ,sinβ)，|→a－→b|＝255.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ)若－2＜β＜0＜α＜2，且sinβ＝－513，求sinα的值.-3-题型五三角函数与平面向量数量积的综合此类题型主要表现为两种综合方式：(1)三角函数与向量的积直接联系；(2)利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合.解答时也主要是利用向量首先进行转化，再利用三角函数知识求解.【例5】1.设函数f(x)＝→a·→b.其中向量→a＝(m，cosx)，→b＝(1＋sinx，1)，x∈R，且f(2)＝2.（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值.（3）求f(x)的对称中心和对称轴2．（山东）已知向量(sin,1),(3cos,cos2)(0)3AmxnAxxA,函数()fxmn的最大值为6.(Ⅰ)求A;(Ⅱ)将函数()yfx的图象向左平移12个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到函数()ygx的图象.（1）求()gx在5[0,]24上的值域.（2）五点法做出()gx在一个周期上的图像。20090318-4-3．（湖北）已知向量(cossin,sin)xxxa,(cossin,23cos)xxxb,设函数()fxab()xR的图象关于直线πx对称,其中,为常数,且1(,1)2.(Ⅰ)求函数()fx的最小正周期;(Ⅱ)若()yfx的图象经过点π(,0)4,求函数()fx在区间3π[0,]5上的取值范围.（3)若()yfx的图象经过点π(,0)4,求函数()fx的单调增区间、对称中心和对称轴4.已知向量1(cos,),(3sin,cos2),2xxxxabR,设函数()·fxab.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期.(Ⅱ)求f(x)在0,2上的最大值和最小值.题型六、三角函数平移与向量平移的综合三角函数与平面向量中都涉及到平移问题，虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同，但它们实质是一样的，它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中.解答平移问题主要注意两个方面的确定：(1)平移的方向；(2)平移的单位.这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标.【例6】把函数y＝sin2x的图象按向量→a＝(－6，－3)平移后，得到函数y＝Asin(ωx＋)+B(A＞0，ω＞0，||＝2)的图象，则和B的值依次为（）A．12，－3B．3，3C．3，－3D．－12，3-5-11、（湖北文）已知等差数列na前三项的和为3,前三项的积为8.(1)求等差数列na的通项公式;(2)若231,,aaa成等比数列,求数列na的前n项和.12．（广东文）(数列)设数列na的前n项和为nS,数列nS的前n项和为nT,满足22nnTSn,n*N.(Ⅰ)求1a的值;(Ⅱ)求数列na的通项公式.13．（福建文）在等差数列na和等比数列nb中,1141,8,nabba的前10项和1055S.(Ⅰ)求na和nb;(Ⅱ)现分别从na和nb的前3项中各随机抽取一项,写出相应的基本事件,并求这两项的值相等的概率.14．（大纲文）已知数列na中,11a,前n项和23nnnSa.(Ⅰ)求23,aa;(Ⅱ)求na的通项公式.15．（安徽文）设函数()sin2xfxx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{}nx.(Ⅰ)求数列{}nx;(Ⅱ)设{}nx的前n项和为nS,求nSsin.16．（辽宁理）在ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.角A,B,C成等差数列.(Ⅰ)求cosB的值;(Ⅱ)边a,b,c成等比数列,求sinsinAC的值.17．（山东文）在△ABC中,内角,,ABC所对的边分别为,,abc,已知sin(tantan)tantanBACAC.(Ⅰ)求证:,,abc成等比数列;(Ⅱ)若1,2ac,求△ABC的面积S.18．（辽宁文）在ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.角A,B,C成等差数列.(Ⅰ)求cosB的值;(Ⅱ)边a,b,c成等比数列,求sinsinAC的值.19．（天津理）已知{na}是等差数列,其前n项和为nS,{nb}是等比数列,且1a=1=2b,44+=27ab,44=10Sb.(Ⅰ)求数列{na}与{nb}的通项公式;(Ⅱ)记1121=+++nnnnTababab,+nN,证明+12=2+10nnnTab+()nN.20．（新课标理）已知,,abc分别为ABC三个内角,,ABC的对边,cos3sin0aCaCbc(1)求A(2)若2a,ABC的面积为3;求,bc.21.（陕西。本小题满分12分）如图，从点P1（0,0）作x轴的垂线交于曲线y=ex于点Q1（0,1），曲线在Q1点处的切线与x轴交与点P2。再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，QI；P2，Q2…Pn，Qn，记kP点的坐标为（kx，0）（k=1,2，…，n）。（Ⅰ）试求kx与1kx的关系（2≤k≤n）；（Ⅱ）求112233...nnPQPQPQPQ【三角与向量专题训练测评】-6-一、选择题1．已知→a＝(cos40，sin40)，→b＝(cos20，sin20)，则→a·→b＝（）A．1B．32C．12D．222．将函数y＝2sin2x－π2的图象按向量(π2，π2)平移后得到图象对应的解析式是（）A．2cos2xB．－2cos2xC．2sin2xD．－2sin2x3．已知△ABC中，AB→＝a→，AC→＝b→，若a→·b→＜0，则△ABC是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．任意三角形4．设→a＝(32,sin)，→b＝(cos,13)，且→a∥→b，则锐角为（）A．30B．45C．60D．755．已知→a＝(sinθ，1＋cosθ)，→b＝(1，1－cosθ)，其中θ∈(π，32)，则一定有（）A．→a∥→bB．→a⊥→bC．→a与→b夹角为45°D．|→a|＝|→b|6．已知向量a→＝(6，－4)，b→＝(0，2),c→＝a→＋b→，若C点在函数y＝sinπ12x的图象上,实数＝（）A．52B．32C．－52D．－327．由向量把函数y＝sin(x＋56)的图象按向量→a＝(m，0)(m＞0)平移所得的图象关于y轴对称，则m的最小值为A．6B．3C．23D．568．设0≤θ≤2π时，已知两个向量OP1→＝(cosθ，sinθ)，OP2→＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则向量P1P2→长度的最大值是A．2B．3C．32D．239．若向量→a＝(cos,sin)，→b＝(cos,sin)，则→a与→b一定满足（）A．→a与→b的夹角等于－B．→a⊥→bC．→a∥→bD．(→a＋→b)⊥(→a－→b)10．已知向量→a＝(cos25,sin25)，→b＝(sin20,cos20)，若t是实数，且→u＝→a＋t→b，则|→u|的最小值为A．2B．1C．22D．1211．O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：→OP＝→OA＋(→AB＋→AC)，∈(0,＋∞)，则直线AP一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心12．对于非零向量→a我们可以用它与直角坐标轴的夹角,(0≤≤,0≤≤)来表示它的方向，称,为非零向量→a的方向角，称cos,cos为向量→a的方向余弦，则cos2＋cos2＝（）A．1B．32C．12D．0二、填空题20090318-7-13．已知向量→m＝(sin，2cos)，→n＝(3,－12).若→m∥→n，则sin2的值为____________．14．已知在△OAB(O为原点)中，→OA＝(2cos，2sin)，→OB＝(5cos，5sin)，若→OA·→OB＝－5，则S△AOB的值为_____________.15．将函数f(x)＝tan(2x＋3)＋1按向量a平移得到奇函数g(x)，要使|a|最小，则a＝__________.16．已知向量→m＝(1，1)向量→n与向量→m夹角为3π4，且→m·→n＝－1.则向量→n＝__________．三、解答题17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若→AB·→AC＝→BA·→BC＝k(k∈R).（Ⅰ）判断△ABC的形状；（Ⅱ）若c＝2，求k的值．18．已知向量→m＝(sinA,cosA)，→n＝(3,－1)，→m·→n＝1，且A为锐角.(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)求函数f(x)＝cos2x＋4cosAsinx(x∈R)的值域．19．在△ABC中，A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量→m＝(1，2sinA)，→n＝(sinA，1＋cosA)，满足→m∥→n，b＋c＝3a.(Ⅰ)求A的大小；(Ⅱ)求sin(B＋6)的值．20．已知A、B、C的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C（3cosα，3sinα）.-8-（Ⅰ）若α∈(－π，0)，且|→AC|＝|→BC|，求角α的大小；（Ⅱ）若→AC⊥→BC，求2sin2α＋sin2α1＋tanα的值．21．△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，→m＝(2b－c，a)，→n＝(cosA，－cosC)，且→m⊥→n．(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)当y＝2sin2B＋sin(2B＋6)取最大值时，求角B的大小.22．已知→a＝(cosx＋sinx，sinx)，→b＝(cosx－sinx，2cosx)，（Ⅰ）求证：向量→a与向量→b不可能平行；（Ⅱ）若f(x)＝→a·→b，且x∈[－4,4]时，求函数f(x)的最大值及最小值．【专题训练】参考答案-9-一、选择题1．B解析：由数量积的坐标表示知→a·→b＝cos40sin20＋sin40cos20＝sin60＝32.2．D【解析】y＝2sin2x－π2→y＝2sin2（x＋2）－π2＋π2