专题二 第一讲 等差数列与等比数列

专题三数列第一讲等差数列与等比数列考点整合等差数列的概念及性质考纲点击1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等差数列与一次函数的关系．基础梳理一、等差数列1．等差数列的定义数列{an}满足________(其中n∈N*，d为与n值无关且为常数){an}是等差数列．2．等差数列的通项公式若等差数列的首项为a1，公差为d，则an＝a1＋________＝am＋________(n，m∈N*)．3．等差中项若x，A，y成等差数列，则A＝________，其中A为x、y的等差中项．4．等差数列的前n项和公式若等差数列首项为a1，公差为d，则其前n项和Sn＝________＝na1＋________.答案：1.an＋1－an＝d2.(n－1)d(n－m)d3.x＋y24.na1＋an2nn－1d2整合训练1．(2009年福建卷)等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a1＝4,则公差d等于()A．1B.C．－2D．353答案：C考纲点击等比数列的概念及性质1．理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中，识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等比数列与指数函数的关系．基础梳理二、等比数列1．等比数列的定义数列{an}满足________＝q(其中an≠0，q是与n值无关且不为零的常数，n∈N*){an}为等比数列．2．等比数列的通项公式若等比数列的首项为a1，公比为q，则an＝a1·________＝am·________(n，m∈N*)．3．等比中项若x，G，y成等比数列，则G2＝________，其中G为x、y的等比中项，G值有________个．4．等比数列的前n项和设等比数列的首项为a1，公比为q，则Sn＝q＝1a11－qn1－q＝q≠1.1.an＋1an2.qn－1qn－m3.xy两4．na1a1－anq1－q答案：2．(2010年浙江卷)设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝()A．11B．5C．－8D．－11S5S2答案：D基础梳理高分突破有关等差、等比数列的基本量问题【例1】(1)(2011年广东六校第二次联考)已知{an}是等差数列,a10=10,其前10项和S10=70,则其公差d等于()(2)(2011年高考上海春季卷)若Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则=.解析:(1)设{an}的首项为a1,公差为d,(2)设{an}的公比为q,由于8a2+a5=8a2+a2q3=0,所以q3=-8,=1+q3=1-8=-7.答案:(1)D(2)-7解决等差数列基本量(a1,d)与等比数列基本量(a1,q)的计算问题时,主要根据两种基本数列的通项公式与前n项和公式,建立关于基本量的方程组,求得基本量后再解决其他问题.跟踪训练1．已知{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S4＝2S2＋4，bn＝.(1)求公差d的值；(2)若a1＝－，求数列{bn}中最大项和最小项的值．1＋anan522．已知数列{an}，{bn}是各项均为正数的等比数列，设cn＝(n∈N*)．(1)数列{cn}是否为等比数列？证明你的结论；(2)设数列{lnan}，{lnbn}的前n项和分别为Sn，Tn.若a1＝2，，求数列{cn}的前n项和．bnanSnTn＝n2n＋1解析：(1)∵S4＝2S2＋4，∴4a1＋4×32d＝2(2a1＋d)＋4.解得d＝1.(2)∵a1＝－52.∴数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)×1＝n－72.∴bn＝1＋1an＝1＋1n－72.∵函数f(x)＝1＋1x－72在－∞，72和72，＋∞上分别是单调减函数，∴b3＜b2＜b1＜1；当n≥4时，1＜bn≤b4.∴数列{bn}中的最大项是b4＝3，最小项是b3＝－1.解析：(1){cn}是等比数列．证明：设{an}的公比为q1(q1＞0)，{bn}的公比为q2(q2＞0)，则cn＋1cn＝bn＋1an＋1×anbn＝bn＋1bn×anan＋1＝q2q1为不等于零的常数，故{cn}为等比数列．(2)数列{lnan}和{lnbn}分别是公差为lnq1和lnq2的等差数列．由条件得nlna1＋nn－12lnq1nlnb1＋nn－12lnq2＝n2n＋1，即2lna1＋n－1lnq12lnb1＋n－1lnq2＝n2n＋1.故对n＝1,2，…，(2lnq1－lnq2)n2＋(4lna1－lnq1－2lnb1＋lnq2)n＋(2lna1－lnq1)＝0.于是2lnq1－lnq2＝0，4lna1－lnq1－2lnb1＋lnq2＝0，2lna1－lnq1＝0.将a1＝2代入得q1＝4，q2＝16，b1＝8.从而有cn＝8×16n－12×4n－1＝4n.所以数列{cn}的前n项和为：4＋42＋…＋4n＝43(4n－1)．3.(1)(2011年浙江杭州第一次质检)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=4,S3=9,则S5-a5等于()(A)14(B)19(C)28(D)60(2)(2011年上海十三市期末统考)设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=a且an+2an+1+an+2=0(n∈N*),则S2010=.解析:(1)设{an}的首项为a1,公差为d,则,解得于是S5-a5=a1+a2+a3+a4=4a1+d=14,故选A.(2)设公比为q,则有an+2an·q+anq2=0,即q2+2q+1=0,得q=-1.答案:(1)A(2)0有关等差、等比数列的性质及应用【例2】(1)(2011年江西九校联考)在等差数列{an}中,Sn是其前n项和,若a3+2a7+a11=60,则S13等于()(A)195(B)200(C)205(D)210(2)(2011年浙江温州五校联考)已知等比数列{an}中,a1+a2+a3=40,a4+a5+a6=20,则其前9项之和等于()(A)50(B)70(C)80(D)90解析:(1)因为a3+2a7+a11=60,所以(a3+a7)+(a7+a11)=60,因此2a5+2a9=60,所以a5+a9=30,即2a7=30,a7=15,于是S13=13a7=13×15=195,故选A.(2)由等比数列的性质知:b1=a1+a2+a3,b2=a4+a5+a6,b3=a7+a8+a9仍然构成等比数列,而b1=40,b2=20,易得b3=10,于是S9=a1+a2+…+a9=b1+b2+b3=40+20+10=70,故选B.抓住项之间的关系,项的序号之间的关系,从这些特点入手选择恰当的性质进行求解是解决该类问题的关键.跟踪训练1.(2011年安徽六校测试)已知数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,且满足a1000+a1012=π,b1b14=-2,则tan等于()(A)1(B)-1(C)(D)解析:∵{an}、{bn}分别为等差数列和等比数列,∴a1+a2011=a1000+a1012=π,b7b8=b1b14=-2,于是故选D.2.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列(1)求{an}的公比q；(2)若a1－a3＝3，求Sn解析：(1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，由于a1≠0，故2q2＋q＝0，又q≠0，从而q＝－.12(2)由已知可得a1－a1－122＝3故a1＝4，从而Sn＝41－－12n1－－12＝831－－12n.3．(2010年陕西卷)已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．(1)求数列{an}的通项；(2)求数列{}的前n项和Sn.na2解析：(1)由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得1＋2d1＝1＋8d1＋2d，解得d＝1，d＝0(舍去)，故{an}的通项an＝1＋(n－1)×1＝n.(2)由(1)知2an＝2n，由等比数列前n项和公式得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝21－2n1－2＝2n＋1－2.nan22＝，等差、等比数列的判断与证明【例3】已知数列{an}的通项公式an=pn2+qn(p,q∈R且p,q为常数).(1)当p和q满足什么条件时,数列{an}是等差数列;(2)求证:对任意实数p和q,数列{an+1-an}是等差数列.(1)解:∵an=pn2+qn,∴an+1=p(n+1)2+q(n+1),于是an+1-an=[p(n+1)2+q(n+1)]-(pn2+qn)=2pn+p+q,要使{an}为等差数列,则2pn+p+q应是一个与n无关的常数,因此只有2p=0,即p=0,故当p=0,q∈R时,{an}是等差数列.(2)证明:∵an+1-an=2pn+p+q,∴an+2-an+1=2p(n+1)+p+q,∴(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p,2p是一个与n无关的常数,∴{an+1-an}是等差数列.证明或判断一个数列为等差数列,通常有两种方法:定义法和等差中项法,在本例中,第(2)问需证(an+2-an+1)-(an+1-an)为常数,而不是证明an+1-an为常数.跟踪训练1.(2011年天津河西区质检)已知数列{an}满足a1=2,an+1=λan+2n(n∈N*),λ为非零常数.(1)是否存在实数λ,使得数列{an}为等差数列或者为等比数列.若存在,则找出所有的λ,并写出对应的通项公式;若不存在,则说明理由;(2)当λ=11时,记bn=an+×2n,证明:数列{bn}为等比数列.(1)解:a1=2,a2=2λ+2,a3=2λ2+2λ+4.①若{an}成等差数列,则2a2=a1+a3,得λ2-λ+1=0,该方程无实数根,即不存在实数λ,使得数列{an}为等差数列;②若{an}成等比数列,则=a1a3,由(2λ+2)2=2(2λ2+2λ+4),得λ=1.即an+1=an+2n,an-an-1=2n-1(n≥2).由an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+a2=2n-1+2n-2+…+22+4=2n(n≥2),又由a1=2,故当λ=1时数列{an}成等比数列.2.设数列{an}的前n项和为Sn，已知ban－2n＝(b－1)Sn.(1)证明：当b＝2时，{an－n·2n－1}是等比数列；(2)求{an}的通项公式．思路点拨：(1)只需证明为非零常数即可或转化为an＋1－(n＋1)·2n＝(an－n·2n－1)q，q为非零常数．(2)当b＝2时，由(1)可求出{an－n·2n－1}的通项公式，从而得到{an}的通项公式；当b≠2时，构造新数列，求其通项公式．解析：∵ban－2n＝(b－1)Sn，令n＝1得ba1－2＝(b－1)a1，∴a1＝2.又ban－2n＝(b－1)Sn，①∴ban＋1－2n＋1＝(b－1)Sn＋1.②an＋1－n＋1·2nan－n·2n－1②－①得：ban＋1－ban－2n＝(b－1)an＋1.即an＋1＝ban＋2n.③(1)当b＝2时，由③得an＋1＝2an＋2n，∴an＋1－(n＋1)·2n＝2an＋2n－(n＋1)·2n＝2(an－n·2n－1)．即＝2，又∵a1－1·21－1＝1≠0，∴{an－n·2n－1}是首项为1，公比为2的等比数列．(2)当b＝2时，由(1)知，an－n·2n－1＝2n－1，∴an＝(n＋1)·2n－1.当b≠2时，由③知：an＋1－n＋1·2nan－n·2n－1an＋1－12－b2n＋1＝ban＋2n－12－b2n＋1＝ban－b·2n2－b＝ban－12－b2n.∴an－12－b·2n＝a1－22－b·bn－1＝21－b2－bbn－1，∴an＝12－b[2n＋(2－2b)bn－1]，∵a1＝2适合上式，∴an＝