专题二 解答题重难点题型 题型8 反比例函数综合题

数学四川地区专题二解答题重难点题型题型8反比例函数综合题类型一反比例函数与一次函数综合题【例1】(2017·武汉)如图，直线y＝2x＋4与反比例函数y＝kx的图象相交于A(－3，a)和B两点．(1)求k的值；(2)直线y＝m(m＞0)与直线AB相交于点M，与反比例函数y＝kx的图象相交于点N，若MN＝4，求m的值；(3)直接写出不等式6x－5＞x的解集．【分析】(1)将点A代入反比例函数解析式中利用待定系数法即可求解；(2)用m分别表示出M、N两点的坐标，再根据MN的长度即可求出m的值；(3)将不等式转化为反比例函数与一次函数比较大小的形式，再由函数图象的交点和位置关系求出不等式的解集．解：(1)∵直线y＝2x＋4与反比例函数y＝kx的图象相交于A(－3，a)，∴a＝2×(－3)＋4＝－2，∴k＝xy＝(－3)×(－2)＝6；(2)∵M在直线y＝2x＋4上，∴设M(m－42，m)，∵N在反比例函数y＝6x上，∴设N(6m，m)，∴MN＝xM－xN＝m－42－6m＝4或MN＝xN－xM＝6m－m－42＝4，∵m＞0，∴解得m＝2或m＝6＋43；(3)令x－5＝x′，则x＝x′＋5，∵6x－5＞x，∴6x′＞x′＋5，即反比例函数y＝6x′的值大于一次函数y＝x′＋5的值，由图象可得：x′＜－6或0＜x′＜1，∴x＜－1或5＜x＜6.【对应训练】1．(2017·常州)如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交于点A，与反比例函数y＝mx(m＜0)的图象交于点B(－2，n)，过点B作BC⊥x轴于点C，点D(3－3n，1)是该反比例函数图象上一点．(1)求m的值；(2)若∠DBC＝∠ABC，求一次函数y＝kx＋b的表达式．解：(1)∵点B(－2，n)、D(3－3n，1)在反比例函数y＝mx(m＜0)的图象上，∴－2n＝m，3－3n＝m，解得n＝3，m＝－6；(2)由(1)知反比例函数表达式为y＝－6x，∵n＝3，∴点B(－2，3)、D(－6，1)，如解图，过点D作DE⊥BC于点E，延长DE交AB于点F，在△DBE和△FBE中，∵∠DBE＝∠FBE，BE＝BE，∠BED＝∠BEF＝90°，∴△DBE≌△FBE(ASA)，∴DE＝FE＝4，∴点F(2，1)，将点B(－2，3)、F(2，1)代入y＝kx＋b，∴－2k＋b＝3，2k＋b＝1，解得k＝－12，b＝2，∴y＝－12x＋2.2．(2017·北京)如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx(x＞0)的图象与直线y＝x－2交于点A(3，m)．(1)求k，m的值；(2)已知点P(n，n)(n＞0)，过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝x－2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y＝kx(x＞0)的图象于点N.①当n＝1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．解：(1)将A(3，m)代入y＝x－2得m＝3－2＝1，∴A(3，1)，将A(3，1)代入y＝kx得k＝3×1＝3；(2)①∵n＝1，∴P(1，1)，把y＝1代入y＝x－2得1＝x－2，解得x＝3，∴M(3，1)，∴PM＝（3－1）2＋（1－1）2＝2，把x＝1代入y＝3x得y＝31＝3，∴N(1，3)，∴PN＝（1－1）2＋（3－1）2＝2，∴PM＝PN；②n的取值范围为0＜n≤1或n＞3.类型二反比例函数与一次函数、几何图形综合题【例2】(2017·山西)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，其边长为2，点A，点C分别在x轴，y轴的正半轴上，函数y＝2x的图象与CB交于点D，函数y＝kx(k为常数，k≠0)的图象经过点D，与AB交于点E，与函数y＝2x的图象在第三象限内交于点F，连接AF，EF.(1)求函数y＝kx的表达式，并直接写出E，F两点的坐标；(2)求△AEF的面积．【分析】(1)根据正方形的性质以及函数上点的坐标特征可求得点D的坐标，再根据待定系数法可求得反比例函数的解析式，从而得到E、F两点的坐标；(2)过点F作FG⊥AB，与AB的延长线交于点G，分别求出AE和FG的长，再根据三角形面积公式可求得△AEF的面积．解：(1)∵正方形OABC的边长为2，∴点D的纵坐标为2，即y＝2，将y＝2代入y＝2x，得x＝1，∴点D的坐标为(1，2)，∵函数y＝kx的图象经过点D，∴2＝k1，∴k＝2，∴函数y＝kx的表达式为y＝2x，点E、F两点坐标为E(2，1)，F(－1，－2)；(2)如解图，过点F作FG⊥AB，与BA的延长线交于点G，∵E，F两点的坐标分别为(2，1)，(－1，－2)，∴AE＝1，FG＝2－(－1)＝3.∴S△AEF＝12AE·FG＝12×1×3＝32.【对应训练】1．(2017·重庆A)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx＋n(m≠0)的图象与反比例函数y＝kx(k≠0)的图象交于第一、三象限内的A，B两点，与y轴交于点C，过点B作BM⊥x轴，垂足为点M，BM＝OM，OB＝22，点A的纵坐标为4.(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；(2)连接MC，求四边形MBOC的面积．解：(1)∵BM⊥x轴，垂足为点M，∴∠BMO＝90°，∵BM＝OM，OB＝22，∴BM＝OM＝2，∴点B的坐标为(－2，－2)，∵点B(－2，－2)在反比例函数y＝kx的图象上，∴－2＝k－2，∴k＝4，∴反比例函数的解析式为y＝4x，∵点A在反比例函数y＝4x的图象上，点A的纵坐标为4，∴x＝44＝1，∴点A的坐标为为(1，4)，∵点A(1，4)、B(－2，－2)在一次函数y＝mx＋n的图象上，∴－2m＋n＝－2，m＋n＝4，解得m＝2，n＝2，∴一次函数的解析式为y＝2x＋2；(2)在y＝2x＋2中，令x＝0，得y＝2，∴点C的坐标为(0，2)，∴OC＝2，∴S四边形MBOC＝S△MBO＋S△OCM＝12OM·BM＋12OM·OC＝12×2×2＋12×2×2＝4.