34直线的参数方程

直线的参数方程1.通过实例了解直线的参数方程的建立过程,并会与普通方程进行互化.2.掌握参数方程的不同表示形式,理解其中有几何意义的参数的含义.3.能够运用参数方程探究直线与圆锥曲线的位置关系,解答距离和弦长问题,运用运动变化的观点看待问题.根据实例说明某些直线用参数方程表示比用普通方程表示更方便,感受参数方程的优越性.直线l过点(2,3),倾斜角为60°的直线方程有哪些不同的表达形式?问题1问题2点斜式𝒙=𝒙𝟎+𝒕𝒄𝒐𝒔𝜶𝒚=𝒚𝟎+𝒕𝒔𝒊𝒏𝜶上述问题中的直线可以用写方程,也可以由参数方程写出.上述直线l的参数方程中参数t的几何意义过点P(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数).参数t的绝对值等于直线上动点P到定点P0(x0,y0)的距离,即|t|=|P0P|.问题3𝒙=𝒙𝟎+𝒂𝒕,𝒚=𝒚𝟎+𝒃𝒕(t为参数)直线的参数方程形式不是唯一的,直线的参数方程可以写成,这里的a,b∈R,其中当a2+b2=1时,t有明确的几何意义,它表示𝑷𝟎𝑷.此时,我们可以认为a=cosα,b=sinα(α为倾斜角);当a2+b2≠1时,t没有明确的几何意义.直线l的参数方程形式一定吗?还可以写成什么形式?问题4𝑨𝑩=𝒕𝟏-𝒕𝟐t=𝒕𝟏+𝒕𝟐𝟐如何用直线l的参数方程求弦长和求弦的中点坐标?用弦的中点坐标计算时,先计算,再代入直线的参数方程得到中点坐标.一般是先设出直线l的参数方程为𝒙=𝒙𝟎+𝒕𝒄𝒐𝒔𝜶,𝒚=𝒚𝟎+𝒕𝒔𝒊𝒏𝜶(t为参数),代入圆锥曲线的方程,得到关于t的二次方程,由判别式Δ和韦达定理得到t1+t2,t1t2的值,再由弦长公式计算.1C下列可以作为直线2x-y+1=0的参数方程的是().A.𝒙=𝟏+𝒕𝒚=𝟑+𝒕(t为参数)B.𝒙=𝟏-𝒕𝒚=𝟓-𝟐𝒕(t为参数)C.𝒙=𝟏-𝒕𝒚=𝟑-𝟐𝒕(t为参数)D.𝒙=𝟐+𝟐𝟓𝟓𝒕𝒚=𝟓+𝟓𝟓𝒕(t为参数)【解析】直线2x-y+1=0的参数方程是𝐱=𝟏-𝐭,𝐲=𝟑-𝟐𝐭(t为参数),选择C.2B直线𝐱=𝟐+𝟑𝐭,𝐲=-𝟏+𝐭(t为参数)上对应t=0,t=1两点间的距离是().A.1B.𝟏𝟎C.10D.2𝟐【解析】t=0,t=1对应的两点分别为(2,-1)和(5,0),所以两点间的距离为𝟏𝟎.3设直线的参数方程为𝐱=-𝟏+𝐭,𝐲=𝟐-𝟑𝐭(t为参数),则点(3,6)到直线的距离是.【解析】直线的普通方程为3x+y+1=0,所以点(3,6)到直线的距离是d=|𝟑×𝟑+𝟔+𝟏|𝟑𝟐+𝟏𝟐=𝟖𝟓𝟏𝟎.𝟖𝟓𝟏𝟎4求直线l:𝐱=-𝟐-𝟐𝐭,𝐲=𝟑+𝟐𝐭(t为参数)与抛物线C:𝐱=𝐬,𝐲=𝟐𝐬𝟐(s为参数)的交点坐标.【解析】将直线l的参数方程𝐱=-𝟐-𝟐𝐭,𝐲=𝟑+𝟐𝐭(t为参数)化为普通方程,得x+y-1=0.将抛物线C的参数方程𝐱=𝐬𝐲=𝟐𝐬𝟐(s为参数)化为普通方程,得y=2x2.联立方程𝐱+𝐲-𝟏=𝟎𝐲=𝟐𝐱𝟐消去y,得2x2+x-1=0,解得x1=-1,x2=𝟏𝟐.直线l与抛物线C的交点坐标为(-1,2),(𝟏𝟐,𝟏𝟐).直线的参数方程直线𝐱=-𝟏-𝐭𝐬𝐢𝐧𝟑𝟎°,𝐲=𝟐+𝐭𝐜𝐨𝐬𝟔𝟎°(t为参数)的倾斜角为().A.30°B.45°C.120°D.135°D【解析】对直线参数方程作适当变形,得𝐱=-𝟏-𝟐𝟐𝐭′𝐲=𝟐+𝟐𝟐𝐭′其中t′=𝟐𝟐t.设倾斜角为θ,有𝐜𝐨𝐬𝛉=-𝟐𝟐,𝐬𝐢𝐧𝛉=𝟐𝟐,θ∈[0°,180°),故θ=135°,选D.利用参数的几何意义求距离在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为𝐱=𝟑-𝟐𝟐𝐭,𝐲=𝟓+𝟐𝟐𝐭(t为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为ρ=2𝟓sinθ.(1)求圆C的直角坐标方程;(2)设圆C与直线l交于点A、B,若点P的坐标为(3,𝟓),求|PA|+|PB|.(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得(3-𝟐𝟐t)2+(𝟐𝟐t)2=5,即t2-3𝟐t+4=0.又直线l过点P(3,𝟓)【解析】(1)由ρ=2𝟓sinθ,得x2+y2-2𝟓y=0,即x2+(y-𝟓)2=5.由于Δ=(3𝟐)2-4×4=20,故可设t1,t2是上述方程的两实根,所以𝐭𝟏+𝐭𝟐=𝟑𝟐,𝐭𝟏·𝐭𝟐=𝟒.∴由上式及t的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3𝟐.【解析】将直线的参数方程𝐱=𝟏-𝐭,𝐲=𝟏+𝐭(t为参数)代入椭圆方程可得:(𝟏-𝐭)𝟐𝟒+(1+t)2=1,即𝟓𝟒t2+𝟑𝟐t+𝟏𝟒=0.直线的参数方程在圆锥曲线中的应用求直线𝐱=𝟏-𝐭,𝐲=𝟏+𝐭被椭圆𝐱𝟐𝟒+y2=1所截得的弦长.设方程的两实根分别为t1、t2,则𝐭𝟏+𝐭𝟐=-𝟔𝟓𝐭𝟏𝐭𝟐=𝟏𝟓∴直线截椭圆的弦长是|t1-t2|=(𝐭𝟏+𝐭𝟐)𝟐-𝟒𝐭𝟏𝐭𝟐=𝟒𝟓.[问题]上述解法中存在什么错误吗?[结论]存在,没有正确理解直线方程中参数的几何意义,正确解答如下:直线的参数方程可化为𝐱=𝟏-𝟐𝟐𝐭′𝐲=𝟏+𝟐𝟐𝐭′(t′=𝟐t为参数),代入椭圆方程可得:(𝟏-𝟐𝟐𝐭′)𝟐𝟒+(1+𝟐𝟐t′)2=1,即𝟓𝟐t′2+3𝟐t′+1=0.设方程的两实根分别为t1′,t2′,则𝐭𝟏′+𝐭𝟐′=-𝟔𝟐𝟓,𝐭𝟏′𝐭𝟐′=𝟐𝟓,则直线截椭圆的弦长是|t1′-t2′|=(𝐭𝟏′+𝐭𝟐′)𝟐-𝟒𝐭𝟏′𝐭𝟐′=𝟒𝟐𝟓.D1.若直线的参数方程为𝐱=𝟏+𝟐𝐭,𝐲=𝟐-𝟑𝐭(t为参数),则直线的斜率为().A.𝟐𝟑B.-𝟐𝟑C.𝟑𝟐D.-𝟑𝟐【解析】k=𝐲-𝟐𝐱-𝟏=-𝟑𝐭𝟐𝐭=-𝟑𝟐.C2.直线𝐱=-𝟐-𝟐𝐭,𝐲=𝟑+𝟐𝐭(t为参数)上与点P(-2,3)距离等于𝟐的点的坐标是().A.(-4,5)B.(-3,4)C.(-3,4)或(-1,2)D.(-4,5)或(0,1)【解析】设直线的倾斜角为α,则tanα=-1,所以α=135°,直线的参数方程可以写为𝐱=-𝟐-𝟐𝟐𝐭',𝐲=𝟑+𝟐𝟐𝐭'(t'为参数),令t'=±𝟐,得点的坐标分别为(-3,4)或(-1,2),选择C.3.已知以极点为原点,极轴为x轴的非负半轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=6sinθ,直线l的参数方程为𝐱=𝟏𝟐𝐭,𝐲=𝟑𝟐𝐭+𝟏(t为参数),直线l被曲线C截得的线段长度为.4𝟐【解析】曲线C的极坐标方程为ρ=6sinθ,化为直角坐标方程为x2+y2=6y,将直线l的参数方程𝐱=𝟏𝟐𝐭,𝐲=𝟑𝟐𝐭+𝟏(t为参数)代入,得到t2-2𝟑t-5=0,设方程的两根为t1,t2,则t1+t2=2𝟑,t1·t2=-5,所以弦长|AB|=|t1-t2|=(𝐭𝟏+𝐭𝟐)𝟐-𝟒𝐭𝟏·𝐭𝟐=(𝟐𝟑)𝟐+𝟐𝟎=4𝟐.4.在直角坐标平面内,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ,直线l的参数方程是𝐱=-𝟑+𝟑𝟐𝐭,𝐲=𝟏𝟐𝐭(t为参数).(1)过极点作直线l的垂线,垂足为点P,求点P的极坐标;(2)若点M,N分别为曲线C和直线l上的动点,求𝐌𝐍的最小值.【解析】(1)因为直线l的参数方程是𝐱=-𝟑+𝟑𝟐𝐭,𝐲=𝟏𝟐𝐭(t为参数),所以直线的倾斜角为𝛑𝟔,所以点P的极角为𝟐𝛑𝟑,设极径为ρ,则𝛒𝐜𝐨𝐬𝟐𝛑𝟑=-𝟑+𝟑𝟐𝐭,𝛒𝐬𝐢𝐧𝟐𝛑𝟑=𝟏𝟐𝐭,解得ρ=𝟑𝟐,所以点P的极坐标为(𝟑𝟐,𝟐𝛑𝟑).(2)因为曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ,即ρ2=4ρcosθ,所以直角坐标方程为x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4,圆心为(2,0),半径为2,直线l的普通方程为x-𝟑y+3=0,圆心到直线的距离为d=𝟓𝟐,所以|MN|的最小值为𝟓𝟐-2=𝟏𝟐.1、直线过点(3,-5),倾斜角为𝟐𝟑π,求直线的参数方程.【解析】易知参数方程为𝐱=𝟑+𝐭𝐜𝐨𝐬𝟐𝟑𝛑,𝐲=-𝟓+𝐭𝐬𝐢𝐧𝟐𝟑𝛑,即𝐱=𝟑-𝟏𝟐𝐭,𝐲=-𝟓+𝟑𝟐𝐭(t为参数).2、已知在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为𝐱=𝟏+𝟒𝐜𝐨𝐬𝛉,𝐲=𝟐+𝟒𝐬𝐢𝐧𝛉(θ为参数),直线l经过定点P(3,5),倾斜角为𝛑𝟑.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程;(2)设直线l与曲线C相交于A、B两点,求|PA|·|PB|的值.【解析】(1)曲线C的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=16,直线l的参数方程为𝐱=𝟑+𝟏𝟐𝐭,𝐲=𝟓+𝟑𝟐𝐭(t为参数).(2)将直线l的参数方程代入圆的方程,化简可得t2+(2+3𝟑)t-3=0,设t1,t2是方程的两个根,则t1t2=-3,所以|PA|·|PB|=|t1|·|t2|=|t1t2|=3.3、已知在平面直角坐标系xOy中.以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,P点的极坐标为(2𝟑,𝛑𝟔),曲线C的极坐标方程为ρ2+2𝟑ρsinθ=1.(1)写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程;(2)若Q为曲线C上的动点,求PQ中点M到直线l:𝐱=𝟑+𝟐𝐭,𝐲=-𝟐+𝐭(t为参数)的距离的最小值.【解析】(1)易得点P的直角坐标(3,𝟑).由ρ2+2𝟑ρsinθ=1得x2+y2+2𝟑y=1,即x2+(y+𝟑)2=4,所以曲线C的直角坐标方程为x2+(y+𝟑)2=4.(2)曲线C的参数方程为𝐱=𝟐𝐜𝐨𝐬𝛉,𝐲=-𝟑+𝟐𝐬𝐢𝐧𝛉(θ为参数),直线l的普通方程为x-2y-7=0,设Q(2cosθ,-𝟑+2sinθ),则M(𝟑𝟐+cosθ,sinθ),那么点M到直线l的距离d=|𝟑𝟐+𝐜𝐨𝐬𝛉-𝟐𝐬𝐢𝐧𝛉-𝟕|𝟏𝟐+𝟐𝟐=|𝐜𝐨𝐬𝛉-𝟐𝐬𝐢𝐧𝛉-𝟏𝟏𝟐|𝟓=𝟓𝐬𝐢𝐧(𝛉-𝛗)+𝟏𝟏𝟐𝟓≥-𝟓+𝟏𝟏𝟐𝟓=𝟏𝟏𝟓𝟏𝟎-1,所以点M到直线l的最小距离为𝟏𝟏𝟓𝟏𝟎-1.