34第二节 可分离变量的微分方程

第二节可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程二、典型例题一、可分离变量的微分方程形如的方程，称为可分离变量的微分方程.)()(ygxfy分离变量，得：,d)(d)(xxfyyg①设y=(x)是方程①的解,则有恒等式：,d)(d)())((xxfxxxg两边积分,得,d)(d)())((xxfxxxg,d)(xxf即：设函数G(y)和F(x)是g(y)和f(x)的一个原函数,②则有当G(y)与F(x)可微且G'(y)=g(y)0时,说明由②确定的隐函数y=(x)是①的解.称②为方程①的隐式通解,或通积分.同样,当F'(x)=f(x)0时,上述过程可逆,由②确定的隐函数x=(y)也是①的解.一、可分离变量的微分方程形如的方程，称为可分离变量的微分方程.)()(ygxfy求解步骤：(变量分离法)1、分离变量,得,d)()(dxxfygy2、两边积分,得,d)()(dxxfygy3、求出通解.)()(CxFyG隐函数确定的微分方程的解微分方程的隐式通解例1求解微分方程.2dd的通解xyxy解分离变量,得,d2dxxyy两端积分,得,d2dxxyy12lnCxy2xCey即二、典型例题.2为所求通解xCey解得)(为任意常数C例2求解微分方程.0)1(32的通解xyy解分离变量,得,dd)1(32xxyy两端积分,得,dd)1(32xxyy14341)1(31Cxy解得.43)1(43为所求通解CxyCxy4343)1(即)(为任意常数C.1)0(cos52的特解满足初始条件求例yxyy解分离变量,得,dcosd2xxyy两端积分,得,dcosd2xxyyCxysin1解得,10xy代入,1C得.1sin1xy所求特解为Cxysin1即例6衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量M成正比,已知00MMt,求衰变过程中铀含量)(tM随时间t变化的规律.解根据题意,有)0(ddMtM00MMt(初始条件)对方程分离变量,,lnlnCtM得即teCM利用初始条件,得0MC故所求铀的变化规律为.0teMMM0Mto然后积分:解根据牛顿第二定律,得tvmdd,00tv初始条件为对方程分离变量,然后积分:得)0(vkgm此处利用初始条件,得),(ln1gmkC代入上式后化简,得特解)1(tmkekgmvmg,vk例设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比,并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,求降落伞下落速度与时间的函数关系.kmgvt足够大时).(,lnd702xyyxyxx求设例解得求导方程两边同时对,x,dd12xyyyx分离变量,,dd22xxyy,31113Cxy解得.33Cxy即然后积分:00d)(d)(yyxxfyygxx可分离变量的微分方程初值问题:的解也可直接用变上限积分来确定：xxyyxxfyyg00d)(d)(分离变量法步骤:1.分离变量;2.两端积分——隐式通解.三、小结若是求特解，还需根据初值条件定常数.(1)找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法:1)根据几何关系列方程,2)根据物理规律列方程,3)根据微量分析平衡关系列方程.(2)利用反映事物个性的特殊状态确定初值条件.(3)求通解,并根据初值条件确定特解.3.解微分方程应用题的方法和步骤思考与练习求方程的通解:提示:方程变形为yxysincos2Cxysin22tanln一、求下列微分方程的通解:1、0dtansecdtansec22yxyxyx；2、0d)(d)(yeexeeyyxxyx；3、0dd)1(32xxyy.二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解:1、xxyyyxdsincosdsincos,40xy；2、0dsin)1(dcosyyexyx,40xy.练习题三、质量克为1的质点受外力作用作直线运动,这外力和时间成正比,和质点运动的速度成反比.在10t秒时,速度等于秒厘米/50,外力为2/4秒厘米克,问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少?四、小船从河边处点0出发驶向对岸(两岸为平行直线).设a船速为,船行方向始终与河岸垂直,设河宽h为,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比(比例k系数为).求小船的航行路线.练习题答案一、1、Cyxtantan；2、Ceeyx)1)(1(；3、Cxy433)1(4.二、1、xycoscos2；2、yexcos221.三、3.269v厘米/秒.四、取0为原点,河岸朝顺水方向为轴x,轴y指向对岸,则所求航线为)312(32yyhakx.例9有高为1m的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为1cm2(如图).开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.解由力学知识得,水从孔口流出的流量为,262.0ddghStVQ流量系数孔口截面面积重力加速度cm100horhdhh)1(,d262.0dtghV设在微小的时间间隔],d,[ttt水面的高度由h降至h+dh,,dd2hrV则,200)100(100222hhhr)2(,d)200(d2hhhV比较(1)和(2)得:hhhd)200(2,d262.0tgh1S,cm2dhhh)200(2,262.0dtgh即为未知函数的微分方程.可分离变量,)200(262.03dhhhgdt,)523400(262.053Chhgt,100|0th,101514262.05gC).310107(265.45335hhgt所求规律为