2013届高考数学一轮复习讲义：第四章 4.5 两角和与差的正弦、余弦和正切

一轮复习讲义两角和与差的正弦、余弦和正切1．cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))cos(α＋β)＝(C(α＋β))sin(α－β)＝(S(α－β))sin(α＋β)＝(S(α＋β))tan(α－β)＝(T(α－β))tan(α＋β)＝(T(α＋β))忆一忆知识要点cosαcosβ－sinαsinβsinαcosβ－cosαsinβsinαcosβ＋cosαsinβtanα－tanβ1＋tanαtanβtanα＋tanβ1－tanαtanβ要点梳理前面4个公式对任意的α，β都成立，而后面两个公式成立的条件是α≠kπ＋π2，β≠kπ＋π2，k∈Z，且α＋β≠kπ＋π2(T(α＋β)需满足)，α－β≠kπ＋π2(T(α－β)需满足)k∈Z时成立，否则是不成立的．当tanα、tanβ或tan(α±β)的值不存在时，不能使用公式T(α±β)处理有关问题，应改用诱导公式或其它方法来解．忆一忆知识要点要点梳理2．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如T(α±β)可变形为：tanα±tanβ＝，tanαtanβ＝＝.3．函数f(α)＝acosα＋bsinα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝或f(α)＝，其中φ可由a，b的值惟一确定．忆一忆知识要点tan(α±β)(1∓tanαtanβ)1-tanα＋tanβtanα＋βtanα－tanβtanα－β-1a2＋b2sin(α＋φ)a2＋b2cos(α－φ)要点梳理[难点正本疑点清源]1．正确理解并掌握和、差角公式间的关系理解并掌握和、差角公式间的关系对掌握公式十分有效．如cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ可用向量推导，cos(α＋β)只需转化为cos[α－(－β)]利用上述公式和诱导公式即可．2．辩证地看待和角与差角为了灵活应用和、差角公式，可以对角进行适当的拆分变换：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换．如α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·α＋β2，α＋β2＝α－β2－α2－β等．例1求下列各式的值：(1)tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°；(2)3sin220°－1cos220°＋64sin220°.利用和、差角公式求值(1)若用通常的化弦法处理，则运算非常繁琐．注意到20°与40°的关系：和为60°，和的正切值正好是3，想到两角和的正切公式．(2)先对3sin220°－1cos220°进行通分，再利用辅助角公式化简．解(1)∵tan60°＝tan(20°＋40°)＝tan20°＋tan40°1－tan20°tan40°＝3，∴tan20°＋tan40°＝3－3tan20°tan40°，∴tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝3.(2)3sin220°－1cos220°＋64sin220°＝3cos220°－sin220°sin220°cos220°＋64sin220°＝3cos20°＋sin20°3cos20°－sin20°sin220°cos220°＋64sin220°＝432cos20°＋12sin20°32cos20°－12sin20°sin220°cos220°＋64sin220°＝4sin60°cos20°＋cos60°sin20°sin60°cos20°－cos60°sin20°sin220°cos220°＋64sin220°＝4sin80°sin40°sin220°cos220°＋64sin220°＝16sin80°sin40°sin240°＋64sin220°＝32cos40°＋64sin220°＝32(2cos220°－1)＋64sin220°＝32.(1)三角恒等变形要注意题目中各角之间的关系和式子的结构形式．(2)通分将分子转化为形如asinx＋bcosx的形式，进而利`用asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)．(3)处理分式的基本思想就是分子、分母分别化积，以便约分，这一点是三角变形中遵守的基本原则．探究提高(1)化简：1tanα2－tanα2·1＋tanα·tanα2；(2)求值：[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin280°.变式训练1解(1)1tanα2－tanα2·1＋tanα·tanα2＝cosα2sinα2－sinα2cosα2·1＋sinαcosα·sinα2cosα2＝cos2α2－sin2α2sinα2cosα2·cosαcosα2＋sinαsinα2cosαcosα2＝2cosαsinα·cosα2cosαcosα2＝2sinα.(2)原式＝2sin50°＋sin10°×cos10°＋3sin10°cos10°·2sin80°＝2sin50°＋2sin10°×12cos10°＋32sin10°cos10°×2cos10°＝22[sin50°·cos10°＋sin10°·cos(60°－10°)]＝22sin(50°＋10°)＝22×32＝6.例2(1)已知0βπ2απ，且cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．三角函数的给角求值与给值求角问题(1)拆分角：α＋β2＝α－β2－α2－β，利用平方关系分别求各角的正弦、余弦．(2)2α－β＝α＋(α－β)；α＝(α－β)＋β.解(1)∵0βπ2απ，∴－π4α2－βπ2，π4α－β2π，∴cosα2－β＝1－sin2α2－β＝53，sinα－β2＝1－cos2α－β2＝459，∴cosα＋β2＝cosα－β2－α2－β＝cosα－β2cosα2－β＋sinα－β2sinα2－β＝－19×53＋459×23＝7527，∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.(2)∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝12－171＋12×17＝130，∴0απ2，又∵tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－132＝340，∴02απ2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tanβ1＋tan2αtanβ＝34＋171－34×17＝1.∵tanβ＝－170，∴π2βπ，－π2α－β0，∴2α－β＝－3π4.(1)注意变角α－β2－α2－β＝α＋β2，可先求cosα＋β2或sinα＋β2的值．(2)先由tanα＝tan[(α－β)＋β]，求tanα的值，再求tan2α的值，这种方法的优点是可确定2α的取值范围．(3)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦较好．探究提高(4)解这类问题的一般步骤为：①求角的某一个三角函数值；②确定角的范围；③根据角的范围写出所求的角．探究提高(2011·广东)已知函数f(x)＝2sin13x－π6，x∈R.(1)求f5π4的值；(2)设α，β∈0，π2，f3α＋π2＝1013，f(3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．变式训练2解(1)f5π4＝2sin13×5π4－π6＝2sinπ4＝2×22＝2.(2)f3α＋π2＝2sin133α＋π2－π6＝2sinα＝1013，∴sinα＝513.f(3β＋2π)＝2sin133β＋2π－π6＝2sinβ＋π2＝2cosβ＝65，∴cosβ＝35.∵α，β∈0，π2，∴cosα＝1－sin2α＝1213，sinβ＝1－cos2β＝45，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝1213×35－513×45＝1665.例3已知f(x)＝1＋1tanxsin2x－2sinx＋π4sinx－π4.(1)若tanα＝2，求f(α)的值；(2)若x∈π12，π2，求f(x)的取值范围．三角变换的简单应用(1)化简f(x)，由tanα＝2代入求f(α)；(2)化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式，求f(x)的取值范围．解(1)f(x)＝(sin2x＋sinxcosx)＋2sinx＋π4·cosx＋π4＝1－cos2x2＋12sin2x＋sin2x＋π2＝12＋12(sin2x－cos2x)＋cos2x＝12(sin2x＋cos2x)＋12.由tanα＝2，得sin2α＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanαtan2α＋1＝45.cos2α＝cos2α－sin2αsin2α＋cos2α＝1－tan2α1＋tan2α＝－35.所以，f(α)＝12(sin2α＋cos2α)＋12＝35.(2)由(1)得f(x)＝12(sin2x＋cos2x)＋12＝22sin2x＋π4＋12.由x∈π12，π2，得5π12≤2x＋π4≤54π.∴－22≤sin2x＋π4≤1,0≤f(x)≤2＋12，所以f(x)的取值范围是0，2＋12.(1)将f(x)化简是解题的关键，本题中巧妙运用“1”的代换技巧，将sin2α，cos2α化为正切tanα，为第(1)问铺平道路．(2)把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝a2＋b2sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．探究提高(2010·天津)已知函数f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0，π2]上的最大值和最小值；(2)若f(x0)＝65，x0∈[π4，π2]，求cos2x0的值．变式训练3解(1)由f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1，得f(x)＝3(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＝3sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋π6)，所以函数f(x)的最小正周期为π.因为f(x)＝2sin(2x＋π6)在区间[0，π6]上为增函数，在区间[π6，π2]上为减函数，又f(0)＝1，f(π6)＝2，f(π2)＝－1，所以函数f(x)在区间[0，π2]上的最大值为2，最小值为－1.(2)由(1)可知f(x0)＝2sin(2x0＋π6)．因为f(x0)＝65，所以sin(2x0＋π6)＝35.由x0∈[π4，π2]，得2x0＋π6∈[2π3，7π6]，从而cos(2x0＋π6)＝－1－sin22x0＋π6＝－45.所以cos2x0＝cos[(2x0＋π6)－π6]＝cos(2x0＋π6)cosπ6＋sin(2x0＋π6)sinπ6＝3－4310.(14分)已知函数f(x)＝2cosxcosx－π6－3sin2x＋sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)当α∈[0，π]时，若f(α)＝1，求α的值．构造辅助角逆用和角公式解题答题模板(1)在f(x)的表达式中，有平方、