2013届高考数学考点回归总复习《第二十五讲 平面向量的数量积》课件

第二十五讲平面向量的数量积回归课本1.向量的夹角(1)已知两个非零向量a和b,作则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角.,,OAaOBb(2)向量夹角θ的范围是[0,π],a与b同向时,夹角θ=0;a与b反向时,夹角θ=π.(3)如果向量a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作a⊥b.2.向量的投影|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.3.平面向量数量积的定义a·b=|a||b|cosθ(θ是向量a与b的夹角),规定:零向量与任一向量的数量积为0.4.向量数量积的性质设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a与e的夹角,则(1)e·a=a•e=|a|cosθ.(2)a⊥b⇔=a•b=0.(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|;特别地,a·a=|a|2或|a|=(4)cosθ=(5)|a·b|≤|a||b|..aa.||||abab5.向量数量积的运算律(1)a·b=b•a.(交换律)(2)(λa)·b=λ(a•b)=a•(λb).(数乘结合律)(3)(a+b)·c=a•c+b•c.(分配律)6.平面向量数量积的坐标表示(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.(2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角,则cosθ=121222221122.xxyyxyxy(3)若向量a的起点坐标和终点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则|a|=这就是平面内两点间的距离公式.(4)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥ba•b=0x1x2+y1y2=0.221212()(),xxyy考点陪练1.(2010·北京)a,b为非零向量,“a⊥b”是“函数f(x)=(xa+b)•(xb-a)为一次函数”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:函数f(x)=x2a•b-(a2-b2)x-a•b,当函数f(x)是一次函数时必然要求a•b=0,即a⊥b,但当a⊥b,|a|=|b|时,函数f(x)不是一次函数,故选B.答案:B2.(2010·重庆)已知向量a,b满足a•b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=()A.0B.C.4D.8解析:因为|2a-b|2=(2a-b)2=4a2+b2-4a•b=4a2+b2=4+4=8,故|2a-b|=,选B.答案:B22223.PABC,PABC()A.B.C.,.DPAPBPBPCPCPA是所在平面上一点若则是的外心内心重心　　垂心答案:D2112,,4.B2()..2||2()2()..B,|()|||OAaOBbOAOBabaAbBabaababababCDaa非零向量若点关于所在直线的对　　　　　　称点　　　　为则向量为　　　　答案:A(2,1),5.(2011)xOy,ABC,k()A.1B.2C.3D.4(3,),ABACk福建福州质检直角坐标系中若三角形是直角三角形则的可能值的个数是　　　　　　　　　　　　　　2(1,1),(1)06,(2)01,(3)0:kk30,0.ABACCBkABACkABCBkACCB解析由得方程无解答案:B类型一数量积的性质及运算解题准备:1.数量积的运算要注意a=0时,a·b=0,但a·b=0时不能得到a=0,或b=0,因为a⊥b时,也有a·b=0.2.若a、b、c是实数,则ab=ac⇒b=c(a≠0);但对于向量,就没有这样的性质,即若向量a､b､c满足a·b=a·c(a≠0),则不一定有b=c,即等式两边不能同时约去一个向量,但可以同时乘以一个向量.11ABC,||5,||4,||3________.,ABACBCABBCBCCACAAB【典例】已知中则的值是2,()2|[]|5.BCCAABBCCAABABBCCAAB解析由已知可得故原式[答案]-25(2)设a､b､c是任意的非零向量,且互不共线.给出以下命题:①(a·b)c-(c·a)b=0;②|a|-|b||a-b|;③(b·c)a-(c·a)b不与c垂直;④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中是真命题的是________.[解析]对于①只有当向量b,c的方向相同时,二者才相等所以①错;考虑②式对应的几何意义,由三角形两边之差小于第三边知②正确;由[(b·c)a-(c·a)b]·c=0知(b·c)a-(c·a)b与c垂直,故③错;④向量的乘法运算符合多项式乘法法则,所以④正确.所以正确命题的序号是②④.[答案]②④类型二利用数量积解决长度、垂直问题解题准备:常用的公式与结论有:221122122212222;()2aaaaa|ab|ax,y,a,.abab0(a,b);ax,y,bx,y,abxxyy0.;.aaaabaaobbxy①或②③若则其中①③两个公式应用广泛需重点把握④均为非零向量⑤设则【典例2】已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120°.(1)计算①|a+b|,②|4a-2b|;(2)当k为何值时,(a+2b)⊥(ka-b)?[分析]利用|a|=及a⊥b⇔a·b=0即可解决问题.[解]由已知,a·b=4×8×=-16.(1)①∵|a+b|2=a2+2a·b+b2=16+2×(-16)+64=48,∴|a+b|=.②∵|4a-2b|2=16a2-16a·b+4b2=16×16-16×(-16)+4×64=3×162.∴|4a-2b|=.aa1()243163(2)若(a+2b)⊥(ka-b),则(a+2b)(ka-b)=0,∴ka2+(2k-1)a·b-2b2=0.16k-16(2k-1)-2×64=0,∴k=-7.类型三利用数量积解决夹角问题解题准备:1.涉及到与夹角有关的问题,往往利用向量的夹角公式解决,这也是平面向量数量积的一个重要考点.11222222121212122.cosa,baa,a,bb,b,cosa;|||b.,|ababababaabb①②设则3.在应用上述公式求夹角时,要考虑夹角的取值范围.【典例3】已知a､b都是非零向量,且|a|=|b|=|a-b|.求a与a+b的夹角.[分析]由公式cosa,b=可知,求两个向量的夹角关键是求数量积及模的积.本题中|a|=|b|=|a-b|的充分利用是求数量积的关键,考虑怎样对条件进行转化.||||abab、[解]解法一:由|a|=|b|=|a-b|得,|a|2=|b|2,|b|2=a2-2a·b+b2,所以a·b=a2.而|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=2|a|2+2×|a|2=3|a|2,所以|a+b|=|a|.设a与a+b的夹角为θ,则cosθ=由于0°≤θ≤180°,所以θ=30°.121232221()32,||||23||aaaabaaba:(,),(,),||,||||,||1(2,,).1122222222222222211221122121222121211axybxyababababa2abbxyxyxyxy2xx2yyxxyyxy解法二设由得所以即22112222111122221111||()()(),aab,3.1()()32cos0180,3,|0.|||23xyxyxyaoabaabxyxy22212122222221122121211abxxyyxyxy2xx2yy3xyab所以故设与的夹角为则由于≤≤所以[反思感悟](1)求两个向量的夹角,需求得a•b及|a|,|b|或得出它们的关系,注意夹角的取值范围是[0°,180°].正确理解公式是关键.(2)向量有两种表示形式,即坐标法和几何法,解题时要灵活选择.本题通过比较两种方法发现,利用向量的几何形式解答此类题目显得更加简捷和直观.错源一利用点平移与向量平移设置陷阱【典例1】已知A(3,7),B(5,2),将按向量a=(1,2)平移后所得向量的坐标是()A.(1,7)B.(2,-5)C.(10,4)D.(3,-3)AB[错解]因为A(3,7),B(5,2),所以=(2,-5),将x=2,y=-5及h=1,k=2,代入平移公式,得x′=2+1=3,y′=-5+2=-3,故按向量a平移后所得向量坐标是(3,-3),选D.[剖析]平移公式揭示的是点沿着向量平移前后坐标的变化关系,它并不适合向量平移规律.上述错误是典型的乱用公式.ABAB[正解]因向量平移后仍与原向量相等.故故选B.[答案]B(2,5),ABAB错源二利用平移前后的解析式设置陷阱【典例2】将函数y=f(x)的图象按向量a平移,使图象上的点A的坐标由(2,3)变为(3,5),则平移后图象的解析式为()A.y=f(x-1)+2B.y=f(x-1)-2C.y=f(x+1)+2D.y=f(x+1)-2[]A2,33,5,a32,531,2,y2fx11,2,,D.xxyy错解因为点的坐标由变为所以由平移公式得所以选[剖析]上述错误是把点的平移与图象的平移混为一谈. []a32,531,2,Px,yyfx,P(x,y),yfx,y2fx1,x,yx,y,y2fx1,1,21,A.,2,xxxxyyyy正解设为的图象上任意一点平移后的对应点为由平移公式得则将它们代入中得习惯上将上式中的写作即故选[答案]A错源三利用平移方向设置陷阱【典例3】将y=2x-6的图象按向量a平移后,得到y=2x的图象,那么a=________.[错解]因为y=2x-6=2(x-3),所以要得到y=2x的图象,只需将y=2x-6的图象沿着x轴向左平移3个单位长度,故a=(-3,0);又y=2x的图象可以看作将y=2x-6的图象沿着y轴向上平移6个单位长度得到的,故a=(0,6),所以向量a=(-3,0)或(0,6).[剖析]上述错误是对图象平移的定义没有弄清所致,根据图象平移的定义可知,图象的平移就是将图象F上所有点按照同一方向,移动同样长度,得到图象F′.此处它只需按照同一方向,而没有要求一定是水平或竖直的移动.[正解]设a=(h,k),P(x,y)是函数y=2x-6的图象上任意一点,它在函数y=2x的图象上的对应点为P′(x′,y′),由平移公式得将它们代入y=2x-6中,得y′-k=2(x′-h)-6,即y′=2x′-2h-6+k,所以平移后函数解析式为y=2x-2h-6+k,因为y=2x-2h-6+k与y=2x为同一函数,所以-2h-6+k=0,即k=2h+6,因此,所求向量a=(h,2h+6)(h∈R).[答案](h,2h+6)(h∈R),,xxhyyk,,xxhyyk错源四误用实数的运算律或运算法则而致错【典例4】已知a,b都是非零向量,且向量a+3b与7a-5b垂直,向量a-4b与7a-2b垂直,求向量a与b的夹角.2222(3)(75)0,(4)(72)0,716150,7308 []0,ababababaabbaabb错解由题意得即两式相减得46a•b-23b2=0,即b•(2a-b)=0,所以b=0(舍去)或2a-b=0,由2a-b=0知a与b同向,故向量a与b的夹角为0°.[剖析]本题误用实数的运算性质,即实数a,b若满足ab=0则必有a=0或b=0,但对于向量a,b若满足a•b=0,则不一定有a=0或b=0,因为由a•b=|a|•|b|cosθ知与θ有关,当θ=90°时,a•