47几个常用函数的导数

几个常用函数的导数教学目标1、让学生体验求导数的极限方法；2、熟记并掌握五个常见函数的求导公式，并理解公式的证明过程；3、能够灵活应用这八个导数公式解答相关的问题；重点：导数公式的推导和灵活运用；难点：对导数公式的理解和把握；一、复习1.解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与求值;物理学中,物体运动过程中,在某时刻的瞬时速度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和公式——导数,导数源于实践,又服务于实践.2.求函数的导数的方法是:(1)()();yfxxfx求函数的增量(2):()();yfxxfxxx求函数的增量与自变量的增量的比值0(3)()lim.xyyfxx求极限，得导函数说明:上面的方法中把x换成x0即为求函数在点x0处的导数.3.函数f(x)在点x0处的导数就是导函数在x=x0处的函数值,即.这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。)(0xf)(xf0|)()(0xxxfxf4.函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.5.求切线方程的步骤：（1）求出函数在点x0处的变化率，得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。0()fx（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即000()()().yfxfxxx函数f(x)在x=x0处求导数反映了函数在点(x0,y0)附近的变化规律;1)|F’(x)|越大,则f(x)在(x0,y0)附近就越“陡”2)|F’(x)|越小,则f(x)在(x0,y0)附近就越“平缓”二、几种常见函数的导数根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.0()CC公式一：为常数:(),yfxC解1)函数y=f(x)=c的导数.()()0,yfxxfxCC0,yx0()lim0.xyfxCx归纳总结：常函数y=f=c的导数等于（x）0它表示函数y=c图象上各点切线的斜率都是0；若y=c表示路程关于时间的函数，则y′可理解为：=0物体的瞬时速度始终为0即物体始终处于静止状态事实上，各点切线就是原来的直线。二、几种常见函数的导数'1x公式二：:(),yfxx解2)函数y=f(x)=x的导数.()()(),yfxxfxxxxx1,yx0()'lim1.xyfxxx归纳总结：函数y=f=x的导数等于（x）它表示函数y=x图象上各点切线的斜率都是1；若y=x表示路程关于时间的函数，则y′可理解为：=1物体的瞬时速度始终为1即物体始终处于1匀速直线运动状态思考探究：课本P13《探究》一次函数y=f(x)=kx（k≠0）的导数.kkx'二、几种常见函数的导数2'2xx公式三：（）2:(),yfxx解3)函数y=f(x)=x2的导数.222()()()2,yfxxfxxxxxxx222,yxxxxxxx220002()()'limlimlim(2)2.xxxyxxxfxxxxxxx归纳总结：函数y=f=x2的导数等于（x）2x斜率为2x处的切线的它表示函数y=x2图象上点P（x，y）当x变化时，切线的斜率也在变化若x＜0，随着x的增加若x＞0，随着x的增加y=x2减小得y=x2增加得越来越慢越来越快若y=x2表示路程关于时间的函数，则y′可理解为：=2x物体作变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x二、几种常见函数的导数211'xx公式三：（）1:(),yfxx解4)函数y=f(x)=1/x的导数.11()()()xyfxxfxxxxxxx1,()yxxxx200111()()'limlim.()xxyfxxxxxxx21(),2(),13(),yfxxyfxxyfxx、、、'1y21'yx'2yx通过以上我们能得到什么结论?4f(x)x,、y=1'2yx'1(x)x(为常数）3.幂函数:例：求下列函数的导数'1(x)x(为常数）幂函数:(sin)cos;xxxxsin)(cos4、三角函数：5、指数函数：)10(ln)(aaaaaxx且特别：xxee)(6、对数函数：1(log)(01)lnaxaaxa且特别：xx1)(ln注意:关于是两个不同的函数,例如:axxa和)3)(1(x))(2(3x3ln3x23x可以直接使用的基本初等函数的导数公式11.(),'()0;2.(),'();3.()sin,'()cos;4.()cos,'()sin;5.(),'()ln(0);6.(),'();17.()log,'()(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaaafxefxefxxfxaaxa公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln,'();fxxfxx则1、求下列函数的导数xyytyx2.0log)3(2)2(sin)1((7)2(8)xyye2(),(1)4,.afxxfa、已知且求实数练习:(6)lnyx341(9)yxxvucos)4(xy3)5(填空(1)f(x)=80，则f'(x)=______;_______;)2(32的导数是xy______)1(______;)(,)()3(''等于等于则fxfexfx03132xxee________)1()4('xogaaxln10001205%()(15%).0110.0tpptpptp例：假设某国家在年期间的通货膨胀率为。物价（单位:元）与时间t（单位：年）有如下关系:其中为时的物价。假定某种商品的，那么在第个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？（精确到01）0'()1.05ln1.05tptp解：由导数公式：10'(10)1.05ln1.05p0.08(元/年）10.0答:在第个年头,这种商品的价格约以08元/年的速度上涨。0510p思考：若某种商品的，那么在第个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？0'()1.05ln1.05,tptp'(10)50.080.4p例1.已知P(-1,1)，Q(2,4)是曲线y=x2上的两点，(1)求过点P的曲线y=x2的切线方程。(2)求过点Q的曲线y=x2的切线方程。(3)求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程。三.典例分析题型：求曲线的切线方程'2yx解(1),(2)：2(1,1),(2,4)PQyx都是曲线上的点。11'|2,xPy过点的切线的斜率k22'|4,xy过Q点的切线的斜率k12(1),210Pyxxy过点的切线方程:即：。44(2),440yxxy过Q点的切线方程:即：。例1.已知P(-1,1)，Q(2,4)是曲线y=x2上的两点，(1)求过点P的曲线y=x2的切线方程。(2)求过点Q的曲线y=x2的切线方程。(3)求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程。三.典例分析题型：求曲线的切线方程'2yx解(3)：411,21PQ直线的斜率k11,440214yxxy与PQ平行的切线方程:即：。00'|21,xxyx切线的斜率k01,2x11(,)24M切点练习1：求双曲线y＝1x在点(2，12)处的切线方程．解：∵y′＝－1x2，∴y′|x＝2＝－14.∴切线方程为y－12＝－14(x－2)，即：x＋4y－4=0练习2：求抛物线y＝14x2上过点(4，74)处的切线方程．00,),xy解：设切点(01',2kyx又切线0001(),2yyxxx切线方程：74切线过(4,),20014yx①00071(4)42yxx，200017224yxx②0017xx解①②得:或149),44切点为(1，)或(7,11491(1)(4)4242yxyx切线方程：或24104490xyxy即：或14练习：点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．解：根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，∵y′＝(ex)′＝ex，即y′|x＝x0＝1.∴ex0＝1，得x0＝0，代入y0＝ex0，得y0＝1，利用点到直线的距离公式得距离为22.即P(0,1)．1、常函数：2、一次函数：3、幂函数：0Ckkx)(1()xx特别：1x特别：xx2)(221)1(xx4、三角函数：xxxxsin)(cos;cos)(sin5、对数函数：1(log)(01)lnaxaaxa且特别：xx1)(ln6、指数函数：)10(ln)(aaaaaxx且特别：xxee)(