LYX第六课时实数LYX1、平方根①算术平方根:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为,读作“根号a”,a叫做被开方数。规定:0的算术平方根是0.结论:对于所有正数而言,被开方数越大,对应的算术平方根也越大。②平方根:一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根。这就是说,如果x2=a,那么x叫做a的平方根。求一个数a的平方根的运算,叫做开平方。结论:⑴正数的平方根有两个,他们互为相反数,其中正的平方根就是这个数的算术平方根。⑵因为02=0,并且任何一个不为0的数的平方都不等于0,所以0的平方根也是0.⑶正数的平方是正数,0的平方是0,负数的平方也是正数,即任何一个数的平方都不会是负数,所以负数没有平方根。★总结:⑴一个正数有两个平方根,它们互为相反数;⑵零有一个平方根,它是零本身;⑶负数没有平方根。由于平方与开平方互为逆运算,因此可以通过平方运算来求一个数的平方根,也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。★一个数的平方根的表示方法:例1、检验下面各题中前面的数是不是后面的数的平方根。(1)±12,144(2)±0.2,0.04(3)102,104(4)14,256例2、0.01的平方根是()(A)0.1(B)±0.1(C)0.0001(D)±0.0001例3、∵(0.3)2=0.09∴()(A)0.09是0.3的平方根.(B)0.09是0.3的3倍.(C)0.3是0.09的平方根.(D)0.3不是0.09的平方根.例4、判断下列说法是否正确:(1)-9的平方根是-3;(2)49的平方根是7;(3)(-2)2的平方根是±2;(4)1的平方根是1;(5)-1是1的平方根;(6)7的平方根是±49.(7)若X2=16则X=4例5、(1)9的算术平方根是(2)的算术平方根是LYX(3)0.01的算术平方根是(4)算术平方根等于它本身的是例6、若一个数的平方根与它算术平方根的值相同,则这个数是()A.1B.0C.0或1D.1、0或-12、立方根①定义:一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根。这就是说,如果x3=a,那么x叫做a的立方根。求一个数的立方根的运算,叫做开立方。正如开平方与平方互为逆运算一样,开立方与立方也互为逆运算。我们可以根据这种关系求一个数的立方根。②若x是a的立方根,则说明x3=a,其中a的立方根记为,,读作“三次根号a”,其中a是被开方数,3是根指数。3a中的根指数3不能省略。(说明:算术平方根的符号,实际上省略了中的根指数2.因此也可读作“二次根号a”。)注意:a的取值范围是全体实数!!(即a可以是正数,也可以是负数,还可以为0.③立方根的特征:⑴任何一个数a都只有一个立方根;⑵正数的立方根是正数;负数的立方根是负数;0的立方根是0;⑶互为相反数的数的立方根也互为相反数。★归纳平方根和立方根的异同点:相同点:①0的平方根、立方根都有一个是0②平方根、立方根都是开方的结果。不同点:①定义不同②个数不同③表示方法不同④被开方数的取值范围不同★立方和开立方是互逆运算:平方和开平方是互逆运算:★思考:立方根是它本身的数是______.平方根是它本身的数是__.算术平方根是它本身的数是______.例1、求下列各数的立方根:aaLYX例2、值?的立方根,求27是27已知5aAa例3、值?,的立方根,求9是56baab例4、下列语句对吗?(1)0.0027的立方根是0.03(2)0.009的平方根是0.3(3)一个数的立方根等于这个数的立方,那么这个数为1,0,-1.⑷任何有理数都有立方根,它不是正数就是负数⑸非负数的立方根还是非负数⑹一个数的平方根与其立方根相同,则这个数是1例5、分别求下列各式的值:★解这类题时,当被开方数是负数时,一般先利用立方根的性质进行化简;当被开方数很复杂时,必须先进行整理后再求值。例6、填空:(1)1的平方根是____;立方根为____;算术平方根为__.(2)平方根是它本身的数是____.(3)立方根是其本身的数是____.(4)算术平方根是其本身的数是____.⑸将一个立方体的体积扩大到原来的8倍,则它的棱长扩大到原来的_____倍。★例7、观察下面的运算,请你找出其中的规律:。____001.0____,1000____,1333规律是:LYX①被开方数每扩大倍,其结果就扩大倍;②被开方数每缩小倍,其结果就缩小倍。反之也成立。___1331000,____1.331,则111331已知,____0.216,____216000,则6216已知,用你发现的规律填空:333333②①例8、估计68的立方根的大小在()A、2与3之间B、3与4之间C、4与5之间D、5与6之间例9、的整数部分是(),小数部分是()的整数部分是(),小数部分是()例10、比较大小:3、4、3、实数①有理数的小数形式:任何一个有理数都能写成有限小数或无限循环小数的形式;反过来任何有限小数或无限循环小数也都是有理数;②无理数的引入:通过平方根和立方根的学习,我们知道很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数,无限不循环小数又叫无理数。例如、、、等都是无理数,π=3.14159265……也是无理数。像有理数一样,无理数也有正负之分。例如、、、π是正无理数,、、—π是负无理数。③实数:有理数和无理数统称为实数。④实数的分类:⑤实数与数轴上的点是一一对应的:⑴每一个有理数都可以用数轴上的点表示;⑵每一个无理数都可以用数轴上的点表示;⑥有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数⑴相反数:数a的相反数是-a,这里a表示任意一个实数。⑵绝对值:一个正实数的绝对值是它本身,一个负实数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.即设a表示一个实数,则LYX⑦实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算,而且正数以及0可以进行开平方运算,任何一个实数可以进行开立方计算。在进行实数的运算时,有理数的运算法则以及运算性质等同样适用。例1、下列各数中,哪些是有理数,哪些是无理数?例2、判断:⑴实数不是有理数就是无理数。()⑵无理数都是无限不循环小数。()⑶无理数都是无限小数。()⑷带根号的数都是无理数。()⑸无理数一定都带根号。()⑹两个无理数之积不一定是无理数。()⑺两个无理数之和一定是无理数。()例3、填空:2的相反数是;相反数是;0的相反数是;例4、(1)求364的绝对值;(2)已知一个数的绝对值是3,这个数。例5、5235的值是()A.5B.-1C.525D.552例6、下列各数中,互为相反数的是()例7、设3对应数轴上的点是A,5对应数轴上的点是B,那么A、B间的距离是。例8、在数轴上与原点的距离是62的点所表示的数是。例9、把下列各数分别填在相应的集合中:,,3213.14,,31.732,0,,43有理数{…}无理数{…}