62椭圆的参数方程

第二讲二圆锥曲线的参数方程课前预习巧设计名师课堂一点通创新演练大冲关考点一考点三1.椭圆的参数方程考点二返回返回返回[读教材·填要点]椭圆的参数方程中心在原点，焦点在x轴上的椭圆x2a2＋y2b2＝1的参数方程是(φ是参数)，规定参数φ的取值范围是．x＝acosφy＝bsinφ[0,2π)返回[小问题·大思维]1．中心在原点，焦点在y轴上的椭圆y2a2＋x2b2＝1的参数方程是什么？提示：由y2a2＝sin2φ，x2b2＝cos2φ，得x＝bcosφ，y＝asinφ.即参数方程为x＝bcosφy＝asinφ(φ为参数)．返回提示：圆的参数方程：x＝rcosθ，y＝rsinθ(θ为参数)中的参数θ是动点M(x，y)的旋转角，但在椭圆的参数方程x＝acosφ，y＝bsinφ(φ为参数)中的参数φ不是动点M(x，y)的旋转角，它是点M所对应的圆的半径OA＝a(或OB＝b)的旋转角，称为离心角，不是OM的旋转角．2．圆的参数方程x＝rcosθy＝rsinθ中参数θ的意义与椭圆的参数方程中参数φ的意义相同吗？返回返回[研一题][例1]已知椭圆x2100＋y264＝1有一内接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面积．[精讲详析]本题考查椭圆的参数方程的求法及应用．解答此题需要设出A点的坐标，然后借助椭圆的对称性即可知B、C、D的坐标，从而求出矩形的面积的表达式．返回∵椭圆方程为x2100＋y264＝1，∴可设A点的坐标为(10cosα，8sinα)．则|AD|＝20|cosα|，|AB|＝16|sinα|，∴S矩形＝|AB|·|AD|＝20×16|sinα·cosα|＝160|sin2α|.∵|sin2α|≤1，∴矩形ABCD的最大面积为160.返回[悟一法]利用椭圆的参数方程求函数(或代数式)最值的一般步骤为：(1)求出椭圆的参数方程；(2)利用椭圆中的参数表示已知函数(或代数式)；(3)借助三角函数的知识求最值．返回[通一类]1．已知实数x，y满足x225＋y216＝1，求目标函数z＝x－2y的最大值与最小值．解：椭圆x225＋y216＝1的参数方程为x＝5cosφ，y＝4sinφ(φ为参数)．代入目标函数得z＝5cosφ－8sinφ＝52＋82cos(φ＋φ0)＝89cos(φ＋φ0)(tanφ0＝85)．所以目标函数zmin＝－89，zmax＝89.返回[研一题][例2]已知A，B分别是椭圆x236＋y29＝1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程．[精讲详析]本题考查椭圆的参数方程及轨迹方程的求法．解答此题需要先求出椭圆的参数方程，即C点的坐标，然后利用重心坐标公式表示出重心G的坐标即可求得轨迹．由题意知A(6,0)、B(0,3)．由于动点C在椭圆上运动，故可设动点C的坐标为(6cosθ，3sinθ)，点G的坐标设为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可得返回x＝6＋0＋6cosθ3，y＝0＋3＋3sinθ3，即x＝2＋2cosθ，y＝1＋sinθ.消去参数θ得到x－224＋(y－1)2＝1.返回[悟一法]利用椭圆的参数方程求轨迹，其实质是用θ表示点的坐标，再利用sin2θ＋cos2θ＝1进行消参，本题的解决方法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．[通一类]2．设F1、F2分别为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点．返回(1)若椭圆C上的点A(1，32)到F1，F2的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；(2)设点P是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1P的中点的轨迹方程．解：(1)由椭圆上点A到F1，F2的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2.又点A(1，32)在椭圆上，因此14＋322b2＝1，返回得b2＝3，于是c2＝a2－b2＝1，所以椭圆C的方程为x24＋y23＝1，焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)．(2)设椭圆C上的动点P的坐标为(2cosθ，3sinθ)，线段F1P的中点坐标为(x，y)，则x＝2cosθ－12，y＝3sinθ＋02，所以x＋12＝cosθ，2y3＝sinθ.消去θ，得(x＋12)2＋4y23＝1.返回[研一题][例3]已知椭圆x24＋y2＝1上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1、B2的连线分别交x轴于P、Q两点，求证：|OP|·|OQ|为定值．[精讲详析]本题考查椭圆的参数方程的求法及应用．解答本题需要先确定B1、B2两点的坐标，并用椭圆的参数方程表示出M点的坐标，然后用参数表示出|OP|·|OQ|即可．设M(2cosφ，sinφ)，φ为参数，B1(0，－1)，B2(0,1)．返回则MB1的方程：y＋1＝sinφ＋12cosφ·x，令y＝0，则x＝2cosφsinφ＋1，即|OP|＝2cosφ1＋sinφ.MB2的方程：y－1＝sinφ－12cosφx，∴|OQ|＝2cosφ1－sinφ.∴|OP|·|OQ|＝2cosφ1＋sinφ×2cosφ1－sinφ＝4.即|OP|·|OQ|＝4为定值．返回[悟一法](1)利用椭圆的参数方程可把几何问题转化为三角问题，便于计算或证明．(2)利用参数方程解决此类问题时，要注意参数的取值范围．[通一类]3．求证：椭圆x＝acosθ，y＝bsinθ(ab0)上一点M与其左焦点F的距离的最大值为a＋c(其中c2＝a2－b2)．返回证明：M、F的坐标分别为(acosθ，bsinθ)、(－c,0)|MF|2＝(acosθ＋c)2＋(bsinθ)2＝a2cos2θ＋2accosθ＋c2＋b2－b2cos2θ＝c2cos2θ＋2accosθ＋a2＝(a＋ccosθ)2∴当cosθ＝1时，|MF|2最大，|MF|边最大，最大值为a＋c.返回椭圆的参数方程及参数方程在求最值中的应用，是高考模拟的重点考查对象，2012年新课标全国卷以解答题的形式考查了椭圆参数方程在求最值中的应用，是高考模拟命题的一个新动向．[考题印证](2012·新课标全国卷)已知曲线C1的参数方程是x＝2cosφ，y＝3sinφ，(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD的顶点都在C1上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，π3)．返回(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．[命题立意]本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．[解](1)由已知可得A(2cosπ3，2sinπ3)，B(2cos(π3＋π2)，2sin(π3＋π2))，C(2cos(π3＋π)，2sin(π3＋π))，返回D(2cos(π3＋3π2)，2sin(π3＋3π2))，即A(1，3)，B(－3，1)，C(－1，－3)，D(3，－1)．(2)设P(2cosφ，3sinφ)，令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，则S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32,52]．返回点击进入创新演练大冲关