长沙市高中四大名校自主招生考试试卷附答案(中考、理科数学竞赛必备)

1580303997345第1页长郡中学2008年高一实验班选拔考试试卷注意：(1)试卷共有三大题16小题，满分120分，考试时间80分钟.(2)请把解答写在答题卷的对应题次上,做在试题卷上无效.一、选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内.1．在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在()(A)直线y=–x上(B)抛物线y=2x上(C)直线y=x上(D)双曲线xy=1上2．以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k的值是()(A)35(B)30(C)25(D)203．若－1＜a＜0，则aaaa1,,,33一定是()(A)a1最小，3a最大(B)3a最小，a最大(C)a1最小，a最大(D)a1最小，3a最大4．如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论错误的是（）(A)AE⊥AF（B）EF：AF=2：1(C)AF2=FH·FE（D）FB：FC=HB：EC5．在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知△BDF的面积为10，△BCF的面积为20，△CEF的面积为16，则四边形区域ADFE的面积等于（）(A)22(B)24(D)36(D)446．某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（）（A）30（B）35（C）56（D）448二、填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分）7．若4sin2A–4sinAcosA+cos2A=0,则tanA=______.第4题1580303997345第2页8．在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流.则经过小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形.9．如右图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A,B,C三点的拋物线对应的函数关系式是.10．桌面上有大小两颗球，相互靠在一起。已知大球的半径为20cm，小球半径5cm,则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于cm.11．物质A与物质B分别由点A(2,0)同时出发，沿正方形BCDE的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以l单位/秒等速运动，物质B按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第11次相遇地点的坐标是.12．设,C,C,C321……为一群圆,其作法如下：1C是半径为a的圆,在1C的圆内作四个相等的圆2C(如图),每个圆2C和圆1C都内切,且相邻的两个圆2C均外切,再在每一个圆2C中,用同样的方法作四个相等的圆3C,依此类推作出,C,C,C654……,则(1)圆2C的半径长等于(用a表示)；(2)圆kC的半径为(k为正整数，用a表示，不必证明)三、解答题（本题有4个小题，共60分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。13.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD内接于圆O，且AD是圆O的直径，DC与AB的延长线相交于E点，OC∥AB.(1)求证AD=AE；(2)若OC=AB=4，求△BCE的面积.(第9题)(第11题)第12题第13题1580303997345第3页14.（本题满分14分）已知抛物线y=x2+2px+2p–2的顶点为M，(1)求证抛物线与x轴必有两个不同交点；(2)设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小.15（本小题满分16分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：胜一场平一场负一场积分310奖励（元/每人）15007000当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛12场）时，A队共积19分。(1)试判断A队胜、平、负各几场?(2)若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W（元），试求W的最大值.1580303997345第4页16（本小题满分18分）已知：矩形ABCD，（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y=23x－1经过这两个顶点中的一个.（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y=ax2＋bx＋c的顶点是P点.①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；②过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y=32x－1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由.（第16题）1580303997345第5页2008年高一实验班选拔考试数学卷评分标准一、选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）1．D2．D3．A4．C5．D6．B二、填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分）7．21.8．2.9．y=–125x2–21x+320.10．20.11．(–34,–2).12．(1)圆2C的半径a)12(；(2)圆kC的半径(2–1)n–1a.三、解答题13.（本小题满分12分）（1）证1.∵AD是圆O的直径，点C在圆O上，∴∠ACD=90，即AC⊥DE.又∵OC∥AE，O为AD中点，∴AD=AE.4分证2∵O为AD中点，OC∥AE，∴2OC=AE，又∵AD是圆O的直径，∴2OC=AD，∴AD=AE.4分（2）由条件得ABCO是平行四边形，∴BC∥AD，又C为中点，∴AB=BE=4，∵AD=AE，∴BC=BE=4，4分连接BD，∵点B在圆O上，∴∠DBE=90，∴CE=BC=4，即BE=BC=CE=4，∴所求面积为43.4分14.（本题满分14分）解：(1)∵⊿=4p2–8p+8=4(p–1)2+40,1580303997345第6页∴抛物线与x轴必有两个不同交点.4分(2)设A(x1,0),B(x2,0),则|AB|2=|x2–x1|2=[(x1+x2)2–4x1x2]2=[4p2–8p+8]2=[4(p–1)2+4]2,∴|AB|=21)1p(2.5分又设顶点M(a,b),由y=(x–p)2–(p–1)2–1.得b=–(p–1)2–1.当p=1时，|b|及|AB|均取最小，此时S△ABM=21|AB||b|取最小值1.5分15（本小题满分16分）解：（1）设A队胜x场，平y场，负z场，得19yx312zyx，可得：7x2zx319y4分依题意，知x≥0,y≥0,z≥0,且x、y、z均为整数，∴0x07x20x319解得：27≤x≤319，∴x可取4、5、64分∴A队胜、平、负的场数有三种情况：当x=4时，y=7,z=1；当x=5时，y=4,z=3；当x=6时，y=1,z=5.4分（2）∵W=（1500+500）x+(700+500)y+500z=–600x+19300当x=4时，W最大，W最大值=–60×4+19300=16900（元）答略.4分16（本小题满分18分）解：(1)如图，建立平面直有坐标系，∵矩形ABCD中，AB=3，AD=2，设A(m0)（m0),则有B(m＋30)；C(m＋32),D(m2);若C点过y=32x－1；则2=32(m＋3)－1,m=－1与m＞0不合；∴C点不过y=32x－1；1580303997345第7页若点D过y=32x－1，则2=32m－1,m=2,∴A(2,0),B(5,0)，C(5,2)，D(2,2)；5分（2）①∵⊙M以AB为直径，∴M(3.50)，由于y=ax2＋bx＋c过A(2,0)和B(5,0)两点，∴0420255abcabc∴baca7102分∴y=ax2－7ax＋10a(也可得：y=a(x－2)(x－5)=a(x2－7x＋10)=ax2－7ax＋10a)∴y=a(x－72)2－94a；∴抛物线顶点P(72,－94a)2分∵顶点同时在⊙M内和在矩形ABCD内部,∴32＜－94a＜2,∴－98＜a＜–32.3分②设切线CF与⊙M相切于Q，交AD于F，设AF=n,n＞0；∵AD、BC、CF均为⊙M切线，∴CF=n＋2,DF=2－n;在RtDCF中，∵DF2＋DC2=CF2；∴32＋(2－n)2=(n＋2)2,∴n=98,∴F(2,98)∴当PF∥AB时，P点纵坐标为98；∴－94a=98，∴a=－12;∴抛物线的解析式为：y=－12x2＋72x－53分抛物线与y轴的交点为Q（0，－5），又直线y=32x－1与y轴交点（0，－1）；∴Q在直线y=32x－1下方.3分2009年长郡中学高一招生数学试题（B）时间60分钟满分100分一.选择题：(本题有8小题,每小题5分,共40分。每小题只有一个符合题意的答案)1.下列四个图形中，每个小正方形都标上了颜色。若要求一个正方体两个相对面上的颜色都一1580303997345第8页样，那么不可能是这一个正方体的展开图的是（）2．某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x％，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x％，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了（）A．2x％B．1+2x％C．（1+x％）x％D．（2+x％）x％3．甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a元，又从另—个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b元，后来他又以每条2ba元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（）A．abB．abC．a=bD．与a和b的大小无关4．若D是△ABC的边AB上的一点，∠ADC=∠BCA，AC=6，DB=5，△ABC的面积是S，则△BCD的面积是（）A．S53B．S74C．S95D．S1165．如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（）A．50B．62C．65D．686．如图，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字，若左图轮子上方的箭头指着的数字为a，右图轮子上方的箭头指着的数字为b，数对（a，b）所有可能的个数为n，其中a+b恰为偶数的不同数对的参数为m，则m/n等于（）A．21B．61C．125D．437．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点，A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2000次相遇在边（）A．AB上B．BC上C．CD上D．DA上黄红黄红绿绿黄红绿红绿黄绿红红绿黄黄绿红黄红黄绿A．B．C．D．1580303997345第9页8．已知实数a满足|2006|2007aaa，那么22006a的值是（）A．2005B．2006C．2007D．2008二．填空题：(本题有8小题,每小题5分,共40分。)9．小明同学买了一包弹球，其中14是绿色的，18是黄色的，余下的15是蓝色的。如果有12个蓝色的弹球，那么，他总共买了（）个弹球10.已知点A（1，1）在平面直角坐标系中，在坐标轴上确定点P使△AOP为等腰三角形.则符合条件的点P共有（）个.11．不论m取任何实数，抛物线y=x2+2mx+m2+m-1的顶点都在一条直线上，则这条直线的函数解析式是（）．12．将红、白、黄三种小球，装入红、白、黄三个盒子中，每个盒子中装有相同颜色的小球．已知：（1）黄盒中的小球比黄球多；（2）红盒中的小球与白球不一样多；（3）白球比白盒中的球少．则红、白、黄三个盒子中装有小球的颜色依次是()．13．在梯形ABCD中，AB∥CD，AC．BD相交于点O，若AC=5，BD=12，中位线长为213，△AOB的面积为S1，△COD的面积为S2，则21SS=（）14．已知矩形A的边长分别为a和b，如果总有另一矩形B，使得矩形B与矩形A的周长之比与面积之比都等于k，则k的最小值为（）1