第三章 随机信号通过线性系统分析

第三章随机信号通过线性系统分析随机信号分析2020/1/2923.1线性系统基本理论3.2连续时间系统的线性系统分析主要内容3.3离散时间系统的线性系统分析3.43dB带宽和等效噪声带宽3.5希尔伯特变换和解析过程3.6窄带随机过程表示3.7窄带随机过程包络和相位的特性3.8正弦信号与窄带SP之和的包络和相位的特性2020/1/2933.2连续时间系统的线性系统分析主要内容3.3离散时间系统的线性系统分析3.43dB带宽和等效噪声带宽3.5希尔伯特变换和解析过程3.6窄带随机过程表示3.7窄带随机过程包络和相位的特性3.8正弦信号与窄带SP之和的包络和相位的特性3.1线性系统基本理论2020/1/294系统可分为：（1）线性系统：线性放大器、线性滤波器（2）非线性系统：限幅器、平方律检波器对于线性系统：已知系统特性和输入信号的统计特性，可以求出系统输出信号的统计特性3.1线性系统的基本理论2020/1/295•下面的分析线性系统是单输入单输出（响应）的、连续或离散时不变的、物理可实现的稳定系统。•连续时间系统：系统的输入和输出都是连续时间信号；•离散时间系统：系统的输入和输出都是离散时间信号。连续时间与离散时间系统：（1）线性：（2）时不变：线性时不变系统：1212[()()][()][()]LaxtbxtaLxtbLxt称作算子][L00()[()]yttLxtt2020/1/296时不变线性系统分类时不变线性系统连续时不变线性系统离散时不变线性系统3.1线性系统的基本理论2020/1/297时不变线性系统若任意常数a,b,输入信号x1(t),x2(t),有L[ax1(t)+bx2(t)]=aL[x1(t)]+bL[x2(t)]若输入信号x(t)时移时间C,输出y(t)也只引起一个相同的时移，即y(t-C)=L[x(t-C)]L[.]x(t)y(t)=L[x(t)]3.1线性系统的基本理论•时不变线性系统2020/1/298连续时不变线性系统若任意常数a,b,输入信号x1(t),x2(t),有L[ax1(t)+bx2(t)]=aL[x1(t)]+bL[x2(t)]h(t)x(t)y(t)=x(t)*h(t)3.1线性系统的基本理论•时不变线性系统)()()()()()()(thtxdthxdhtxty2020/1/2993.1线性系统的基本理论3.1.2连续时不变线性系统的分析方法1.时域分析2．频域分析3.物理可实现的稳定系统(因果系统))()()()()()()(thtxdthxdhtxtyY()()X()Hx()()jtxtedtdtethHtj)()(()()()YsHsXsjs0t0)(th如果当时，所有实际的物理可实现系统都是因果的。，那么该系统称为因果系统。2020/1/29103.1线性系统的基本理论3.1.3离散时不变线性系统的分析方法1.时域分析2．频域分析3.物理可实现的稳定系统如果当时，，那么该系统称为因果系统。)()()()()()()(nhnxknhkxkhknxnykkY()X()()jjjeeHex()()jjnnexnenjnjenheH)()(Y()X()()zzHzjez0)(nh0n物理可实现稳定系统的极点都位于z平面的单位圆内。2020/1/29113.2连续时间系统的线性系统分析主要内容3.3离散时间系统的线性系统分析3.43dB带宽和等效噪声带宽3.5希尔伯特变换和解析过程3.6窄带随机过程表示3.7窄带随机过程包络和相位的特性3.8正弦信号与窄带SP之和的包络和相位的特性3.1线性系统基本理论2020/1/2912•在给定系统的条件下，输出信号的某个统计特性只取决于输入信号的相应的统计特性，而不依赖其他统计特性。•根据输入随机信号的均值、相关函数和功率谱密度，再加上已知线性系统单位冲激响应或传递函数，就可以求出输出随机信号相应的均值、相关函数和功率谱密度•分析方法：卷积积分法；频域法。3.2随机信号通过连续时间系统的分析2020/1/2913•3.2.1时域分析法•1、输出表达式（零状态响应，因果系统）•2、输出的均值•3、系统输入与输出之间的互相关函数•4、系统输出的自相关函数•5、系统输出的高阶距3.2随机信号通过连续时间系统的分析2020/1/2914•3.2.1时域分析法•1、输出表达式（零状态响应，因果系统）•2、输出的均值•3、系统输入与输出之间的互相关函数•4、系统输出的自相关函数•5、系统输出的高阶距3.2随机信号通过连续时间系统的分析►输入为随机信号X(t)的某个实验结果的一个样本函数，则输出为：)(tx0)()()(dtxhty系统的单位冲激响应一个确定性函数一个确定性函数2020/1/2915•3.2.1时域分析法•1、输出表达式（零状态响应，因果系统）•2、输出的均值•3、系统输入与输出之间的互相关函数•4、系统输出的自相关函数•5、系统输出的高阶距3.2随机信号通过连续时间系统的分析X()t0Y()()()()()thXtdhtXt对于随机信号任意一个样本函数均成立。：那么对于所有的试验结果，系统输出为一族样本函数，这族样本函数构成随机过程2020/1/2916•3.2.1时域分析法•1、输出表达式（零状态响应，因果系统）•2、输出的均值•3、系统输入与输出之间的互相关函数•4、系统输出的自相关函数•5、系统输出的高阶距3.2随机信号通过连续时间系统的分析Y0()[()][()()]mtEYtEhXtd0()[X()]hEtdX0()()hmtdX()*()mtht证明X()tYX0()mmhd若为平稳SP，则2020/1/2917•3.2.1时域分析法•1、输出表达式（零状态响应，因果系统）•2、输出的均值•3、系统输入与输出之间的互相关函数•4、系统输出的自相关函数•5、系统输出的高阶距3.2随机信号通过连续时间系统的分析XY12X122(,)(,)*()RttRtthtYX12X121(,)(,)*()RttRttht结论：由于系统的输出是系统输入的作用结果，因此，系统输入输出之间是相关的，系统输入输出相关函数为2020/1/29183.2随机信号通过连续时间系统的分析XY12X122(,)(,)*()RttRtthtYX12X121(,)(,)*()RttRttht证明：由于系统的输出是系统输入的作用结果，因此，系统输入输出之间是相关的，系统输入输出相关函数为XY1212120(,)[X()Y()][X()()X()]RttEttEthutudu120()[X()()]]huEtXtuduX120()(,)huRttuduX122(,)*()RtthtYX12X121(,)(,)*()RttRtthtXY()RX0()()huRudu)()(hRXYX()RX0()()huRuduX()()Rh(3.2.8若输入为平稳随机过程2020/1/2919•3.2.1时域分析法•1、输出表达式（零状态响应，因果系统）•2、输出的均值•3、系统输入与输出之间的互相关函数•4、系统输出的自相关函数•5、系统输出的高阶距3.2随机信号通过连续时间系统的分析结论：已知系统输入随机信号的自相关函数，可以求出系统输出端的自相关函数Y1212(,)[Y()Y()]RttEtt12X12()()(,)hthtRtt2020/1/29203.2随机信号通过连续时间系统的分析证明：已知系统输入随机信号的自相关函数，可以求出系统输出端的自相关函数Y1212(,)[Y()Y()]RttEtt12X12()()(,)hthtRttY1212(,)[()()]RttEYtYt1200[()X()()X()]Ehutuduhvtvdv1200()()[X()X()]huhvEtutvdudvX1200()()(,)huhvRtutvdudv12X12()()(,)hthtRttY121XY12(,)()(,)RtthtRtt2YX12()(,)htRttYXX00()()()()()()()RhuhvRuvdudvRhhXYYX()()()()RhRh2020/1/29213.2随机信号通过连续时间系统的分析证明：已知系统输入随机信号的自相关函数，可以求出系统输出端的自相关函数Y1212(,)[Y()Y()]RttEtt12X12()()(,)hthtRtt2121),(tYtYEttRYdvduvtutRvhuhX0210,0210,dudvvtutRvhuhXdvduvtutRuhvhX0210,021,dututRuhXY021,dvvttRvhYX211,*ttRthXY212,*ttRthYX2121,**ttRththX2020/1/2922•3.2.1时域分析法•1、输出表达式（零状态响应，因果系统）•2、输出的均值•3、系统输入与输出之间的互相关函数•4、系统输出的自相关函数•5、系统输出的高阶距3.2随机信号通过连续时间系统的分析系统输出的n阶矩的一般表达式为121212[Y()()()][()()()]()()()nnnEtYtYtEXtXtXthththt2020/1/2923•3.2.1时域分析法•系统输出的平稳性和遍历性3.2随机信号通过连续时间系统的分析前提:系统处于稳定状态时。在这种情况下，t=0系统输出响应已处于稳态结论1：若输入是宽平稳的，则系统输出也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。X()tY()t结论2：若输入是严平稳的，则输出也是严平稳的。X()tY()t结论3：若输入是宽遍历性的，则输出也是宽遍历性的，且联合遍历X()tY()tY()tX()t2020/1/29243.2随机信号通过连续时间系统的分析结论1：若输入是宽平稳的，则系统输出也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。X()tY()tX()tXX()mtm常数X12X(,)()RttR12tt＝2X(0)[()]REXtYX0()mmhdXY12(,)RttX0()()huRuduX()()RhXY()RYX12(,)RttX0()()huRuduX()()RhYX()R若输入为宽平稳随机过程，则有：Y12XXY00(,)()()()()()()()RtthuhvRuvdudvRhhR2020/1/29253.2随机信号通过连续时间系统的分析结论1：若输入是宽平稳的，则系统输出也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。X()tY()t22X00[Y()][()]()()()EtEYthuhvRuvdudvX00()()()huhvRuvdudvX00(0)()()RhuhvdudvX00(0)()()Rhvdvhudu0)(dtth2[()]EYt2020/1/29263.2随机信号通过连续时间系统的分析结论2：若输入是严平稳的，则输出也是严平稳的。X()tY()t因为0Y()()()thXtd对于时不变系统，若时移常数T，有0Y()()()tThXtTd