2013年安徽省高考文科数学试卷及详解答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）一．选择题：（1）设i是虚数单位，若复数10()3aaRi是纯虚数，则a的值为（）（A）-3（B）-1（C）1（D）3（2）已知|10,2,1,0,1AxxB，则()RCAB（）（A）2,1（B）2（C）1,0,1（D）0,1（3）如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（A）34（B）16（C）1112（D）2524（4）“(21)0xx”是“0x”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（A）23(B)25(C)35（D）910（6）直线2550xy被圆22240xyxy截得的弦长为（A）1（B）2（C）4（D）46（7）设nS为等差数列na的前n项和，8374,2Saa，则9a=（A）6（B）4（C）2（D）2(8)函数()yfx的图像如图所示，在区间,ab上可找到(2)nn个不同的数12,,,nxxx，使得1212()()()nnfxfxfxxxx，则n的取值范围为(A)2,3(B)2,3,4(C)3,4(D)3,4,5(9)设ABC的内角,,ABC所对边的长分别为,,abc，若2,3sin5sinbcaAB,则角C=(A)3(B)23(C)34(D)56（10）已知函数32()fxxaxbxc有两个极值点12,xx，若112()fxxx，则关于x的方程23(())2()0fxafxb的不同实根个数为（A）3(B)4(C)5(D)6二．填空题（11）函数21ln(1)1yxx的定义域为_____________.（12）若非负数变量,xy满足约束条件124xyxy，则xy的最大值为__________.（13）若非零向量,ab满足32abab，则,ab夹角的余弦值为_______.（14）定义在R上的函数()fx满足(1)2()fxfx.若当01x时。()(1)fxxx，则当10x时，()fx=________________.（15）如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段1CC上的动点，过点,,APQ的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）。①当102CQ时，S为四边形②当12CQ时，S为等腰梯形③当34CQ时，S与11CD的交点R满足113CR④当314CQ时，S为六边形⑤当1CQ时，S的面积为62三．解答题（16）（本小题满分12分）设函数()sinsin()3fxxx.（Ⅰ）求()fx的最小值，并求使()fx取得最小值的x的集合；（Ⅱ）不画图，说明函数()yfx的图像可由sinyx的图象经过怎样的变化得到.（17）（本小题满分12分）为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下：甲乙745533253385543331006069112233586622110070022233669754428115582090（Ⅰ）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；（Ⅱ）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为12,xx，估计12xx的值.（18）（本小题满分12分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，60BAD.已知2,6PBPDPA.（Ⅰ）证明：PCBD（Ⅱ）若E为PA的中点，求三菱锥PBCE的体积.（19）（本小题满分13分）设数列na满足12a，248aa,且对任意*nN，函数1212()()cos-sinnnnnnfxaaaxaxax满足'()02f(Ⅰ)求数列na的通项公式；（Ⅱ）若122nnnaba（），求数列nb的前n项和nS.（20）（本小题满分13分）设函数22()(1)fxaxax，其中0a，区间|()0Ixfx.（Ⅰ）求I的长度（注：区间(,)的长度定义为；（Ⅱ）给定常数0,1k，当11kak时，求I长度的最小值.（21）（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的焦距为4，且过点(23)P，.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设0000(,)(0)Qxyxy为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E。取点(0,22)A,连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D。点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由.详解答案一．选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设i是虚数单位，若复数10()3aaRi是纯虚数，则a的值为（）（A）-3（B）-1（C）1（D）3【答案】D【解析】iaiaiaiiaiiiaia)3()3(10)3(109)3(10)3)(3()3(103102，所以a=3，故选择D【考点定位】考查纯虚数的概念，及复数的运算，属于简单题.（2）已知|10,2,1,0,1AxxB，则()RCAB（）（A）2,1（B）2（C）1,0,1（D）0,1【答案】A【解析】A：1x，}1|{xxACR，}2,1{)(BACR，所以答案选A【考点定位】考查集合的交集和补集，属于简单题.（3）如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（A）34（B）16（C）1112（D）2524【答案】C【解析】21210,0,2ssn；434121,21,4ssn；12116143,43,6ssn1211,8sn，输出所以答案选择C【考点定位】本题考查算法框图的识别，逻辑思维，属于中等难题.（4）“(21)0xx”是“0x”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】210,0)12(或xxx，所以答案选择B【考点定位】考查充分条件和必要条件，属于简单题.（6）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（A）23(B)25(C)35（D）910【答案】D【解析】总的可能性有10种，甲被录用乙没被录用的可能性3种，乙被录用甲没被录用的可能性3种，甲乙都被录用的可能性3种，所以最后的概率333110p【考点定位】考查古典概型的概念，以及对一些常见问题的分析，简单题.（6）直线2550xy被圆22240xyxy截得的弦长为（A）1（B）2（C）4（D）46【答案】C【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离1+4-5+5=15d，半径5r，所以最后弦长为222(5)14.【考点定位】考查解析几何初步知识，直线与圆的位置关系，点到直线的距离，简单题.（7）设nS为等差数列na的前n项和，8374,2Saa，则9a=（A）6（B）4（C）2（D）2【答案】A【解析】188333636978()4420226aaSaaaaaadaad【考点定位】考查等差数列通项公式和前n项公式的应用，以及数列基本量的求解.(8)函数()yfx的图像如图所示，在区间,ab上可找到(2)nn个不同的数12,,,nxxx，使得1212()()()nnfxfxfxxxx，则n的取值范围为(A)2,3(B)2,3,4(C)3,4(D)3,4,5【答案】B【解析】1111()()00fxfxxx表示11(,())xfx到原点的斜率；1212()()()nnfxfxfxxxx表示1122(,())(,())(,())nnxfxxfxxfx，，，与原点连线的斜率，而1122(,())(,())(,())nnxfxxfxxfx，，，在曲线图像上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点有几个，很明显有3个，故选B.【考点定位】考查数学中的转化思想，对函数的图像认识.(9)设ABC的内角,,ABC所对边的长分别为,,abc，若2,3sin5sinbcaAB,则角C=(A)3(B)23(C)34(D)56【答案】B【解析】BAsin5sin3由正弦定理，所以baba35,53即；因为acb2，所以ac37，212cos222abcbaC，所以32C，答案选择B【考点定位】考查正弦定理和余弦定理，属于中等难度.（11）已知函数32()fxxaxbxc有两个极值点12,xx，若112()fxxx，则关于x的方程23(())2()0fxafxb的不同实根个数为（A）3(B)4(C)5(D)6【答案】A【解析】2'()32fxxaxb，12,xx是方程2320xaxb的两根，由23(())2()0fxafxb，则又两个()fx使得等式成立，11()xfx，211()xxfx，其函数图象如下：如图则有3个交点，故选A.【考点定位】考查函数零点的概念，以及对嵌套型函数的理解.四．填空题（11）函数21ln(1)1yxx的定义域为_____________.【答案】0,1【解析】2110011011xxxxx或，求交集之后得x的取值范围0,1【考点定位】考查函数定义域的求解，对数真数位置大于0，分母不为0，偶次根式底下大于等于0.（12）若非负数变量,xy满足约束条件124xyxy，则xy的最大值为__________.【答案】4【解析】由题意约束条件的图像如下：当直线经过(4,0)时，404zxy，取得最大值.【考点定位】考查线性规划求最值的问题，要熟练掌握约束条件的图像画法，以及判断何时z取最大.（13）若非零向量,ab满足32abab，则,ab夹角的余弦值为_______.【答案】13【解析】等式平方得：2222944ababab则22244||||cosaabab，即220443||cosbb得1cos3【考点定位】考查向量模长，向量数量积的运算，向量最基本的化简.（14）定义在R上的函数()fx满足(1)2()fxfx.若当01x时。()(1)fxxx，则当10x时，()fx=________________.【答案】(1)()2xxfx【解析】当10x，则011x，故(1)(1)(11)(1)fxxxxx又(1)2()fxfx，所以(1)()2xxfx【考点定位】考查抽象函数解析式的求解.（16）如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段1CC上的动点，过点,,APQ的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）。①当102CQ时，S为四边形②当12CQ时，S为等腰梯形③当34CQ时，S与11CD的交点R满足113CR④当314CQ时，S为六边形⑤当1CQ时，S的面积为62【答案】①②③⑤【解析】（1）12CQ，S等腰梯形，②正确，图如下：（2）1CQ，S是菱形，面积为36222，⑤正确，图如下：（3）34CQ，