固有值问题和特殊函数 第3节 Sturm-Liouville问题

第三节Sturm-Liouville问题常微分方程123123()()()()[()]0,(1)[()()][()()]0(2)(1)()()()()()()()()[()]0(3)(2)()()()()[()()cxXxcxXxcxXaxbxdpxXxqxsxXdxsxsxcxXxsxcxXxsxcxXpxXxpxXxqxsx其中与无关的参数。（1）式适当变形后，可化成得式改写成]0(4)X21211212112121131(3)(4)()()()()()()()()()(),()()()()()()()()()(()()),1(),()(),()().cdxccdxcsxcxpxsxcxpxsxcxsxcxsxcxsxcxsxcxsxcxsxcxcxsxecxcpxeqxpxc比较和有，，则[]=解得，进而方程（2）称为Sturm-Liouville方程，简记S-L方程，其中是与x无关的参数，p(x),q(x),s(x)都是实值且假设q(x),s(x)连续，p(x)连续可微。若函数p(x)和s(x)在[a,b]上为正，S-L方程称为[a,b]上正则，当区间是无穷或半无穷，或当p(x)或s(x)在有限区间的一个或两个端点处为零时，S-L方程称为奇异的。1.S-L方程（2）+端点条件一起称为S-L问题，其中对于使S-L问题有非零解的值称为固有值，相应于固有值的非零解称为固有函数，因而，S-L问题有时也称为固有值问题。1212()()0()()0aXaaXabXbbXb1212,,,.aabbR()()2.()(),()()XaXbpapbXaXbSLSL当正则方程同周期端点条件一起称为周期问题。3.定理设S-L问题中的函数p,q,s在[a,b]上连续，对应于不同固有值的固有函数连续可微，则在[a,b]上关于权函数s(x)正交。证明：因为是对应于的方程的解，则ij和ijXX和ijXX和ijXX和ij和(())[()]01)(())[()]02)iiijjjdXdpxqxsXdxdxdXdpxqxsXdxdx12)()()()[]|()[()()()()]3)()[()()()()]jiijijjiijbbijijjiijaaijijijijXXdXXspXXpXXdxXXsdxpXXpXXpbXbXbXbXbpaXaXaXaXbSL将）得，则上式右端称为问题的边界项。下面证明边界项为零。1212222()()04)()()05)0()4)()5)[()()()()]00()()()()06)ijiijjjiijijijijXXxbbXbbXbbXbbXbbXbXbbXbXbXbXbbXbXbXbXb、在处满足端点条件若，得因，故2100()0()0.6)()()()()0.()00.ijijijbijijabijijabbXbXbXaXaXaXaXXsdxXXsdx若，此时若，由边界条件，有，故在这种情况下，也成立。同样可得这样证明了边界项为零，所以，由，有4.推论区间[a,b]上的周期S-L问题，属于不同固有值的固有函数在[a,b]上关于权函数s(x)正交。12*1122**211112211212*112121221*1*15.()()().()()..0.bbbbaaaabababaXXXxcXxcXxxXXsdxXcXcXsdxcsXdxcsXXdxXXccsXXdxccsXdxXXsdxXX关于同一个固有值的两个固有函数与是的两个线性无关的固有函数，取则X也是的固有函数，则为了使与正交，取和使有可见，与是属s于同一固有值的固有函数，且关于权函数正交。12126.lim,()().()()(nnnnnnnbnannfxcXxfxXxsdxcXx定理（1）任何正则S-L问题存在一个实固有值的无穷序列其中且对应的固有函数X（除常数因子外是唯一确定的）组成一个完备正交系；（2）在[a,b]上分段光滑的任一函数f(x),如果满足正则S-L问题的端点条件，则f(x)可以按固有函数系展开为绝对且一致收敛的级数，即其中.)basdx例1.求解S-L问题解：p=1,q=0,s=1()0,0(0)()0.XxXxXX0(),0,00,0xxXxAeBeABAeBeAB(1)当时，此方程通解为代入端点条件，得解之的此时方程没有非零解，仅有平凡解，即时，无固有值。0(),0,00,0XxAxBBABAB(2)当时，此方程通解为代入端点条件，得解之的此时方程没有非零解，仅有平凡解，即时，无固有值。20()cossin,0,sin00sin0,1,2,()sin,1,2,.nnXxAxBxABBnnXxnxn(3)当时，此方程通解为代入端点条件，得为时S-L问题有非零解，则，故，因此，固有值为对应固有函数是例1.求解周期S-L问题()0,()(),()().XxXxXXXX1,()().(1)0(),,0,0xxpppXxAeBeAeBeAeBeAeBeAeBeAB解：当时，此方程通解为代入端点条件，得（）（）解得故当时无固有值。00(2)0(),()()0,()()()01XxAxBXXABABABXBXXX当时，此方程通解为代入端点条件，由得有任意非零常数，显然满足的条件，故是固有值，相应的固有函数是2(3)0()cossin,cossincossin,,sincossincossin0sin0.00,sin0,1,2cos,sin,1,2;nXxAxBxABABABABBAABnnnxnxn当时，此方程通解为代入端点条件，得，因此若或只有，得相应的两个线性无关的固有函数总之201,21cossin1,2.nnnxnxn，固有值为，，，对应固有函数为，，，第四节Bessel函数101.0,()0()2.()(1)().()(1)(1)(),1,2,()()(1)(1)0,1,2,()0,1,2,xtxxtedtxxxxxxxkxxxkxkxkxxxxkxxnnnn一、函数定义：由广义积分所表达的函数称为函数。注：这个积分对所有收敛，且连续。的性质(1)递推公式由有当或时，，222112000(2)(1)!,1,2,(1)12(1)!1(3)()222.tutuunnnnnntedtueuduedu