21.1.1排列与排列数公式

第二十一章概率分布初步21.1排列与组合21.1.1排列与排列数公式分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.12nNmmm分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.12nNmmm主场客场赛事甲乙丙乙甲丙丙甲乙甲-丙甲-乙乙-甲乙-丙丙-甲丙-乙问题1：现有甲、乙、丙3个足球队，进行主客场双循环比赛，共需比赛多少场？探究：每两个球队按主客场的顺序都进行两场比赛，比赛情况如下：共需6场比赛这个问题可以这样来看，从3个足球队中，每次选2个队，按照主队在前，客队在后的顺序排列，求一共有多少种不同的排法。这件事情可以分成两个步骤来完成：第一步从3个足球队中任选1个做主队；第二步从剩下的2个足球队中选1个做客队。由分步计数原理，共需3×2=6场比赛。我们把每一个研究的对象叫做元素,于是问题１就是从3个不同的元素中，任取2个元素，按照一定的顺序排成一列，求一共有多少个不同的排列个数的问题。例：从3个不同的元素a,b,c中任取2个，一共有多少种不同的排列方法？ab,ac,ba,bc,ca,cb问题2：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？1234443322444333111244431112224333111222叙述为:从4个不同的元素a,b,c,d中任取3个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？abc,abd,acb,acd,adb,adc;bac,bad,bca,bcd,bda,bdc;cab,cad,cba,cbd,cda,cdb;dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.有此可写出所有的三位数：123，124，132，134，142，143;213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342;412，413，421，423，431，432.问题1现有甲、乙、丙3个足球队，进行主客场双循环比赛，共需比赛多少场？实质是：从3个不同的元素中,任取2个,按一定的顺序排成一列,有哪些不同的排法？问题2从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？实质是：从4个不同的元素中,任取3个,按照一定的顺序排成一列,写出所有不同的排法.定义：一般地说,从n个不同的元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列.基本概念1、排列：从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.说明：1、元素不能重复.2、“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键.3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同.4、m＜n时的排列叫选排列，m＝n时的排列叫全排列.（全排列中所有不同的排法所含有的元素完全一样，只是元素排列的顺序不完全相同。）（有序性）（互异性）例1、下列问题中哪些是排列问题？（1）10名学生中抽2名学生开会（2）10名学生中选2名做正、副组长（3）从2,3,5,7,11中任取两个数相乘（4）从2,3,5,7,11中任取两个数相除（5）20位同学互通一次电话（6）20位同学互通一封信（7）以圆上的10个点为端点作弦（8）以圆上的10个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线（9）有10个车站，共需要多少种车票？（10）有10个车站，共需要多少种不同的票价？练习1下列问题是排列问题吗？（1）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？（2）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？（3）从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？（4）平面上有5个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多少条射线？可确定多少条直线？（5）10个学生排队照相，则不同的站法有多少种？（从中归纳这几类问题的区别）是排列不是排列是排列是排列不是排列是排列分析：先画“树形图”，再由此写出所有的排列．若把这题改为：正班长一人，副班长两人，结果如何呢？方法仍然照用，但写起来更“啰嗦”．练习2.在A、B、C、D四位候选人中，选举正、副班长各一人，共有几种不同的选法？写出所有可能的选举结果．ABACADBABCBDCACBCDDADBDC研究一个排列问题，往往只需知道所有排列的个数而无需一一写出所有的排列，那么能否不通过一一写出所有的排列而直接“得”出所有排列的个数呢？接下来我们将来共同探讨这个问题：排列数及其公式．2、排列数：我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做排列数，用符号表示.mnA“排列”和“排列数”有什么区别和联系？排列数，而不表示具体的排列.所有排列的个数，是一个数；mn“排列数”是指从个不同元素中，任取个元素的mnA所以符号只表示nm“排列”是指：从个不同元素中，任取按照一定的顺序排成一列，不是数；个元素23326A问题１中是求从３个不同元素中取出２个元素的排列数，记为,已经算得23A3443224A问题2中是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，记为，已经算出34A探究：从n个不同元素中取出2个元素的排列数是多少？2nA呢？mnA呢？3nA……第1位第2位第3位第m位n种(n-1)种(n-2)种(n-m+1)种2(1)nAnn3(1)(2)nAnnn(1)(2)(1)mnAnnnnm(1)排列数公式（1）：)*,,)(1()2)(1(nmNnmmnnnnAmn当m＝n时，123)2)(1(nnnAnn正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用表示.!nn个不同元素的全排列公式：!nAnn(2)排列数公式（2）：)!(!mnnAmn说明：1、排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明.为了使当m＝n时上面的公式也成立，规定：1!02、对于这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件.nmn2345678n!2624120720504040320316A66A46A例1.计算（1）（2）（3）3161615143360A666!720A466543360A解：（1）（2）（3）有关排列数的计算与证明例2、求证)2(11mnnAAmnmn例3某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，求总共要进行多少场比赛.2141413182A(场)45例安排人分别当车工、钳工、刨工、铣工和油漆工，已知甲不能当钳工、油漆工，问有几种方法？解法一：解法二：2343433!72PP先考虑谁当钳工、油漆工，143434!72PP先考虑甲，几种特殊的排列1.优先排列56例人排一排，甲不在头，也不在尾，有几种排法？()特殊位置头和尾解法一：2454480PP解法二：()特殊元素甲1545480PP解法三：间接法65652480PP2.集团排列（捆绑法）643例已知男女排成一排，①男一起；②女一起；③男一起，女一起，分别有几种排法？3535720PP②432432288PPP③44P1第一步：排男生有)(44P有一起后看作一个整体，第二步：把男生捆绑在576PP4444共有3.间隔排列743例已知男女排成一排，①男不一起；②女不一起；③男不一起，女不一起，分别有几种排法？43451440PP②3434144PP③33P1第一步：排女生有)(44P4个空位排男生，即两端共有第二步：女生之间加上441PP4433共有844例已知男女排成一排，男不一起且女不一起，有几种排法？解：或4314421152PPP4.有序排列95例已知人比赛跑步，甲比乙快，有几种情形？解：甲比乙快和甲比乙慢的情形一样多，55/260P10,,,,,,,abcdefabc例，按顺序的排列有几种？6633120PP解：1163例书架上有本书，插入本，要求不改变原顺序，有几种插法？9966987504PP解：2.(1)(2)(3)(4)七人站成一排照相有几种站法？若甲必须站在中间，有几种站法？若甲不能站两端，有几种站法？若甲、乙必须相邻，有几种站法？77(1)5040P解：66(2)6720P先将其余人排好，再将甲插在中间即可。1656(3)3600PP6262(4)1440PP先合后分。综合练习巩固练习：1181798,___,___mnAnm、如果则255566869,()()()()nNnnnn、若则用排列数符号表示为__________332310,_____nnAAn、如果则755489,_____nnnAAnA、如果则由n=18，n-m+1=8，得m=111569nA).1(8)2)(1(10)22)(12(2nnnnnnnn舍即).4(15,8929112nnnn舍解得化简得小结：【排列】从n个不同元素中选出m(m≤n)个元素,并按一定的顺序排成一列.【关键点】1、互异性(被选、所选元素互不相同)2、有序性(所选元素有先后位置等顺序之分)【排列数】所有排列总数121mnAnnnnm()()...()mnn!A=(n-m)!几种阶乘变形.11n-=n!(n+1)!(n+1)!n!+nn!=(n+1)!作业P2761、2（2）（3）、4.