第一章 随机事件及其概率

教材：《概率论与数理统计》袁荫棠编中国人民大学出版社参考书：《概率论与数理统计》盛骤、谢式千、潘承毅等编高等教育出版社序言概率论是研究什么的？随机现象：不确定性与统计规律性概率论——研究和揭示随机现象量的统计规律性的科学在自然界和人类社会中存在着两类不同的现象：确定性现象：在一定条件下事先可以断言必然会发生某种结果的现象；不确定性现象（随机现象）：在一定条件下，可能出现这种结果，也可能出现那种结果。事先不能预言会出现哪种结果的现象。第一章随机事件及其概率随机事件概率概率的加法法则条件概率与乘法法则独立实验概型1.1随机事件一、随机试验(简称“试验”)对随机现象进行观测称为随机试验随机试验的特点：1.可在相同条件下重复进行；（必然性）2.每次试验的结果具有多种可能性,但在试验之前可以明确试验的所有可能结果;（可示性）3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。（偶然性）随机试验可表为E二、随机事件每次实验中，可能发生也可能不发生，而在大量实验中具有某种规律性的事件称为随机事件。简称为事件通常用大写的拉丁字母A、B、C等表示基本事件：不能分解成其它事件组合的最简单的随机事件复合事件：由基本事件复合而成的事件必然事件、不可能事件必然事件（Ω）：每次试验中一定发生的事件不可能事件（）：每次试验中一定不发生的事件三、样本空间：1、由一个样本点组成的单点集称为一个基本事件,也记为{ω}.2、样本空间：实验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为Ω；3、样本点:试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点,记为ω.四、事件之间的关系事件的包含如果事件A发生必然导致事件B发生,即属于A的每一个样本点都属于B,则称事件B包含事件A或称事件A含于事件B,记作BA或ABBA等价的说法是如果B不发生则A也不会发生.对于任何事件A有A事件的相等如果事件A包含事件B,事件B也包含事件A,称事件A与B相等.即A与B中的样本点完全相同.记作A=B事件的并(和)两个事件A,B中至少有一个发生,即A或B,是一个事件,称为事件A与B的并(和).它是属于A或B的所有样本点构成的集合.记作A+B或ABAB易知A+=A+=An个事件A1,A2,…,An中至少有一个发生是一个事件,称为事件的和,记作A1+A2+…+An或A1A2…An可列个事件的和表示可列个事件中至少有一个事件发生,记作11iiiiAA或事件的交(积)两个事件A与B同时发生,即A且B,是一个事件,称为事件A与B的交.它是由既属于A又属于B的所有公共样本点构成的集合.记作AB或ABAB易知A=AA=对立事件事件非A称为A的对立事件(或逆事件).它是由样本空间中所有不属于A的样本点组成的集合.记作AAAAAAAA,,显然A事件的差事件A发生而事件B不发生,是一个事件,称为事件A与B的差.它是由属于A但不属于B的那些样本点构成的集合.记作ABAB易知AABABA互不相容事件如果事件A与B不能同时发生,即AB=,称事件A与B互不相容(或称互斥).互不相容事件A与B没有公共的样本点.显然,基本事件间是互不相容的AB对立事件一定互不相容,但互不相容事件未必对立完备事件组若事件A1,A2,…,An为两两互不相容事件,并且A1+A2+…+An=,称构成一个完备事件组或构成一个划分.A1A2A3A4最常用的完备事件组是某事件A与它的逆A五、事件的运算1、交换律：AB＝BA，AB＝BA2、结合律：(AB)C＝A(BC)，(AB)C＝A(BC)3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)，(AB)C＝(AC)(BC)4、对偶(DeMorgan)律：,,.kkkkkkkkABABABABAAAAUIUUIIU可推广例1掷一颗骰子的试验，观察出现的点数事件A表示奇数点,事件B表示点数小于5,C表示小于5的偶数点.用集合的列举表示法表示下列事件:BAACABABBABACBA,,,,,,,,,解:={1,2,3,4,5,6}A={1,3,5}B={1,2,3,4}C={2,4}A+B={1,2,3,4,5}AB={5}BA={2,4}AB={1,3}AC=CA={2,4}}6,4,3,2,1{BA写出其样本空间；三次都取到了合格品；三次中至少有一次取到合格品；三次中恰有两次取到合格品；三次中至多有一次取到合格品。A1A2A3A1+A2+A3Ā1A2A3+A1Ā2A3+A1A2Ā3Ā2Ā3+Ā1Ā3+Ā1Ā2例2、从一批产品中每次取出一个产品进行检验（每次取出的产品不放回），事件Ai表示第i次取到合格品（i＝1,2,3）。试用事件的运算符号表示下列事件：例3一名射手连续向某个目标射击三次事件Ai表示该射手第i次射击时击中目标(i=1,2,3).试用文字叙述下列事件:323121323221212323321321221;;;;;;;;;;AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA解:三次射击至少两次中中后两次至少有一次未击前两次均未中第三次中但第二次未中三次都中三次中至少一次中第二次未中前两次至少有一次中::::::::323121323221212323321321221AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA例4如果x表示一个沿数轴做随机运动的质点的位置是说明下列各事件的关系A={x|x≤20}B={x|x3}C={x|x9}D={x|x-5}E={x|x≥9}包含关系互不相容对立相容DBDE与，与CE与CDBE与，与BCBAEA与，与，与ACD,BE5DCA03920BEx1.2概率一、概率的统计定义概率的统计定义并非严格的数学上的定义,而只是大数定律的一个描述.在n次重复试验中,如果事件A发生了m次,则m/n称为事件A发生的频率.同样若事件B发生了k次,则事件B发生的频率为k/n.如果A是必然事件,有m=n,即必然事件的频率是1,当然不可能事件的频率为0.如果A与B互不相容,则事件A+B的频率为(m+k)/n,它恰好等于两个事件的频率的和m/n+k/n,这称之为频率的可加性.定义1.1在不变的条件下,重复进行n次试验,事件A发生的频率稳定地某一常数p附近摆动,且一般说来,n越大,摆动幅度越小,则称常数p为事件A的概率,记作P(A).但这不是概率的数学上的定义,而只是描述了一个大数定律.历史上的掷硬币试验试验者抛掷次数n正面出现次数m正面出现频率m/n德.摩尔根204810610.518蒲丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005维尼30000149940.4998概率的稳定性是概率的经验基础但并不是说概率决定于经验.一个事件发生的概率完全决定于事件本身的结构,指试验条件,是先于试验而客观存在的.概率的统计定义仅仅指出了事件的概率是客观存在的,但并不能用这个定义计算P(A).实际上,人们是采取一次大量试验的频率或一系列频率的平均值作为P(A)的近似值的.例如,对一个妇产医院6年出生婴儿的调查中,可以看到生男孩的频率是稳定的,约为0.515新生儿性别统计表出生年份新生儿总数n新生儿分类数频率(%)男孩数m1女孩数m2男孩女孩197736701883178751.3148.69197842502177207351.2248.78197940552138191752.7347.27198058442955288950.5649.44198163443271307351.5648.44198272313722350951.4748.536年总计31394161461524851.4848.52若某试验E满足1.每次试验只有有限种可能的试验结果样本空间Ω＝{e1,e2,…,en};2.每次试验中,各基本事件出现的可能性完全相同P(e1)=P(e2)=…=P(en).则称试验E为古典概型试验。1.2.2.概率的古典定义定义1.2若试验结果一共由n个基本事件E1,E2,…,En组成,并且这些事件的出现具有相同的可能性,而事件A由其中某m个基本事件E1,E2,…,Em组成,则事件A的概率可以用下式计算:nmAAP试验的基本事件总数的基本事件数有利于)(例1袋内装有5个白球,3个黑球,从中任两个球,计算取出的两个球都是白球的概率.357.014578212145)(,},{,:282525235CCnmAPCmAACn则基本事件数的则取到两个白球假设事件数组成试验的基本事件总解例2一批产品共200个,废品有6个,求(1)这批产品的废品率;(2)任取3个恰有一个是废品的概率;(3)任取3个全非废品的概率解设P(A),P(A1),P(A0)分别表示(1),(2),(3)中所求的概率,则9122.0198199200321321192193194)()3(0855.0198199200321211931946)()2(03.02006)()1(32003194032002194161CCAPCCCAPAP例3两封信随机地向标号为1,2,3,4的4个邮筒投寄,求第二个邮筒恰好被投入1封信的概率及前两个邮筒中各有一封信的概率.解设事件A={第二个邮筒恰有一封信}事件B={前两个邮筒中各有一封信}两封信投入4个邮筒共有44种投法,而组成事件A的投法有23种,组成事件B的投法则只有2种,因此81162)(,83166)(BPAP1.3概率的加法法则例1100个产品中有60个一等品,30个二等品,10个废品.规定一,二等品都为合格品,考虑这批产品的合格率与一,二等品之间的关系解设事件A,B分别表示产品为一,二等品.则A与B不相容,AB=,A+B为合格品,则)()()(100901003060)(10030)(,10060)(BPAPBAPBAPBPAP可见例2200个产品中有6个废品,任取3个,求最多只有一个废品的概率P(B)解设事件A0,A1分别表示3个废品中有0个和1个废品,则B=A0+A1,且A0与A1与互不相容.则有利于B的基本事件数等于有利于A0与A1的基本事件数m1与m2之和,因此9977.00855.09122.0)(0855.0)(9122.0)()()()(32002194161320031940101010BPCCCAPCCAPAPAPnmnmnmmBP因此其中加法法则：若AB＝，则P(A+B)＝P(A)＋P(B)(1.2)推论1（有限可加性）：设A1，A2，…An,是一列两两互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…n,有：P(A1A2…An)＝P(A1)＋P(A2)+….+P(An)(1.3)可列可加性：iii=1i=1P(A)=P(A)(1.4)推论2：若A1，A2，…，An构成一个完备事件组，则：P(A1)＋P(A2)+….+P(An)＝1（1.5）推论3：若事件AB，则P(A－B)=P(A)－P(B)（1.7）且P(A)≥P(B)特别地：P(A)+P(Ā)=1P(A)＝1－P(Ā）（1.6）推论4：对任意两个事件A、B，有P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)（1.8）证明：P(A+B)＝P[A+(B-AB)]＝P(A)+P(B－AB）＝P(A)+P(B)－P(AB)由广义加法法则可以推导出多个事件的和的概率公式例如,考虑任意三个事件之和A+B+C的概率P(A+B+C),先将B+C看作一个事件,得P(A+B+C)=P(A)+P(B+C)P[A(B+C)]=P(A)+P(B+C)P(AB+AC)=P(A)+P(B)+P(C)P(BC)P(AB)P(AC)+P(ABC)最后得P(A+B+C)==P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC